Considere um planeta orbitando em torno do Sol considerado fixo. Tome o plano da órbita do planeta como sendo o plano , com o Sol na origem e considere a posição do planeta em coordenadas polares . Mostre que a taxa com a qual o planeta “varre a área” (como na segunda lei de Kepler) é , por conseguinte, . Deduza a segunda lei de Kepler.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o movimento de um planeta ao redor do Sol, que está fixo na origem de um plano chamado plano . A gente vai usar coordenadas polares para descrever a posição do planeta. O conteúdo aqui envolve a segunda lei de Kepler e conceitos de cinemática e área varrida. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a taxa de varredura de área e relacionar isso com o momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área varrida por um vetor posição no plano polar. A fórmula para a área de um setor circular pequeno é dada por:
Aqui, é a distância do planeta ao Sol, e é a variação do ângulo polar em um pequeno intervalo de tempo.

Passo 3

Agora, para encontrar a taxa com que a área é varrida em relação ao tempo, basta derivar em relação a :
A derivada de em relação a é a velocidade angular, que a gente pode chamar de . Então:
Isso mostra a primeira parte que a taxa de varredura de área é .

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa expressão com o momento angular do planeta. O momento angular ( ) para um objeto em movimento circular é dado por:
Onde é a massa do planeta.

Passo 5

Podemos reescrever a taxa de varredura de área em termos do momento angular. Substituindo na expressão anterior:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos conectar isso com a segunda lei de Kepler. A segunda lei afirma que o raio vetor que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais, ou seja, a taxa de varredura de área é constante. Da nossa derivação, vemos que:
Se o momento angular é constante (o que acontece quando não há torque externo, como na órbita planetária), então também é constante.

Resposta

Assim, demonstramos que a taxa com que o planeta varre a área é e que essa taxa é igual a . Isso confirma a segunda lei de Kepler, que diz que o raio vetor de um planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

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