Considere um planeta orbitando em torno do Sol considerado fixo. Tome o plano da órbita do planeta como sendo o plano
, com o Sol na origem e considere a posição do planeta em coordenadas polares
. Mostre que a taxa com a qual o planeta “varre a área” (como na segunda lei de Kepler) é
, por conseguinte,
. Deduza a segunda lei de Kepler.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o movimento de um planeta ao redor do Sol, que está fixo na origem de um plano chamado plano
. A gente vai usar coordenadas polares
para descrever a posição do planeta. O conteúdo aqui envolve a segunda lei de Kepler e conceitos de cinemática e área varrida. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a taxa de varredura de área e relacionar isso com o momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área varrida por um vetor posição no plano polar. A fórmula para a área de um setor circular pequeno é dada por:
Aqui,
é a distância do planeta ao Sol, e
é a variação do ângulo polar em um pequeno intervalo de tempo.
Passo 3
Agora, para encontrar a taxa com que a área é varrida em relação ao tempo, basta derivar
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é a velocidade angular, que a gente pode chamar de
. Então:
Isso mostra a primeira parte que a taxa de varredura de área é
.
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa expressão com o momento angular do planeta. O momento angular (
) para um objeto em movimento circular é dado por:
Onde
é a massa do planeta.
Passo 5
Podemos reescrever a taxa de varredura de área em termos do momento angular. Substituindo
na expressão anterior:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos conectar isso com a segunda lei de Kepler. A segunda lei afirma que o raio vetor que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais, ou seja, a taxa de varredura de área é constante. Da nossa derivação, vemos que:
Se o momento angular
é constante (o que acontece quando não há torque externo, como na órbita planetária), então
também é constante.
Resposta
Assim, demonstramos que a taxa com que o planeta varre a área é
e que essa taxa é igual a
. Isso confirma a segunda lei de Kepler, que diz que o raio vetor de um planeta varre áreas iguais em tempos iguais.