Mostre que as distâncias do CM a
e
estão na razão
. Explique por que se
for muito maior do que
, o CM se encontra muito próximo da posição de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que as distâncias do centro de massa (CM) aos objetos
e
estão na razão
. Vamos usar os conceitos de centro de massa da matéria para resolver isso. Precisamos entender a definição de CM e como calcular as distâncias a partir dela.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o centro de massa de dois objetos fica em uma posição onde a massa está “equilibrada”. A fórmula para encontrar a posição do CM
em relação a
e
é:
Onde
e
são as posições de
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos definir
como a distância do CM até
e
como a distância do CM até
. Sabemos que a soma dessas distâncias é a distância total entre
e
, ou seja:
Passo 4
A definição de centro de massa também nos diz que:
Isso significa que o produto da massa pelo a distância até o CM é igual para ambos os objetos.
Passo 5
Da equação
, podemos rearranjar para encontrar a razão entre as distâncias:
Ou seja, as distâncias
e
estão na razão inversa das massas,
.
Passo 6
Agora, vamos pensar no que acontece quando
é muito maior que
(
). Pela razão
, se
aumenta muito em relação a
,
(distância ao CM de
) fica muito pequena. Isso significa que o CM está bem próximo de
.
Resposta
As distâncias do centro de massa aos objetos
e
estão na razão
. Além disso, se
for muito maior que
, o centro de massa ficará bem próximo da posição de
.