Mostre que as distâncias do CM a e estão na razão . Explique por que se for muito maior do que , o CM se encontra muito próximo da posição de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que as distâncias do centro de massa (CM) aos objetos e estão na razão . Vamos usar os conceitos de centro de massa da matéria para resolver isso. Precisamos entender a definição de CM e como calcular as distâncias a partir dela.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que o centro de massa de dois objetos fica em uma posição onde a massa está “equilibrada”. A fórmula para encontrar a posição do CM em relação a e é:
Onde e são as posições de e , respectivamente.

Passo 3

Vamos definir como a distância do CM até e como a distância do CM até . Sabemos que a soma dessas distâncias é a distância total entre e , ou seja:

Passo 4

A definição de centro de massa também nos diz que:
Isso significa que o produto da massa pelo a distância até o CM é igual para ambos os objetos.

Passo 5

Da equação , podemos rearranjar para encontrar a razão entre as distâncias:
Ou seja, as distâncias e estão na razão inversa das massas, .

Passo 6

Agora, vamos pensar no que acontece quando é muito maior que ( ). Pela razão , se aumenta muito em relação a , (distância ao CM de ) fica muito pequena. Isso significa que o CM está bem próximo de .

Resposta

As distâncias do centro de massa aos objetos e estão na razão . Além disso, se for muito maior que , o centro de massa ficará bem próximo da posição de .

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