Mostre que o tensor de inércia é aditivo no seguinte sentido: suponha que um corpo
seja feito de duas partes,
e
. (Por exemplo, um martelo é feito do cabo de madeira acoplado a uma cabeça de metal.) Então,
. Analogamente, se
pode ser pensado como o resultado da retirada da parte
de
(como uma casca esférica oca é o resultado da remoção de uma pequena esfera de dentro de uma esfera maior), então
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o tensor de inércia é aditivo. Isso significa que se um corpo
é composto por duas partes,
e
, o tensor de inércia de
(
) é a soma dos tensores de inércia de
(
) e
(
). Além disso, se
é obtido removendo a parte
de
, então
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do tensor de inércia e como ele se comporta ao combinar ou separar partes de um corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Matematicamente, para um corpo com densidade
, o tensor de inércia
é dado por:
Aqui,
é a matriz identidade,
é o vetor posição de um ponto no corpo, e
representa o produto tensorial.
Passo 3
Agora, consideremos que o corpo
é composto pelas partes
e
. Isso significa que a densidade de
é a soma das densidades de
e
:
Passo 4
Substituindo essa soma na expressão do tensor de inércia de
, temos:
Passo 5
Podemos separar a integral em duas partes, pois a integral de uma soma é a soma das integrais:
Isso resulta em:
Passo 6
Assim, mostramos que quando o corpo
é composto pelas partes
e
, o tensor de inércia de
é a soma dos tensores de inércia de
e
:
Passo 7
Agora, vamos considerar o segundo cenário onde
é obtido removendo a parte
de
. Nesse caso, a densidade de
é:
Passo 8
Substituindo na expressão do tensor de inércia de
:
Novamente, utilizando a propriedade da linearidade da integral:
Resposta
Portanto, demonstramos que o tensor de inércia é aditivo: se um corpo
é composto por duas partes
e
, então seu tensor de inércia é
. Da mesma forma, se
é obtido removendo
de
, temos
.