Mostre que o tensor de inércia é aditivo no seguinte sentido: suponha que um corpo seja feito de duas partes, e . (Por exemplo, um martelo é feito do cabo de madeira acoplado a uma cabeça de metal.) Então, . Analogamente, se pode ser pensado como o resultado da retirada da parte de (como uma casca esférica oca é o resultado da remoção de uma pequena esfera de dentro de uma esfera maior), então .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que o tensor de inércia é aditivo. Isso significa que se um corpo é composto por duas partes, e , o tensor de inércia de ( ) é a soma dos tensores de inércia de ( ) e ( ). Além disso, se é obtido removendo a parte de , então . Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do tensor de inércia e como ele se comporta ao combinar ou separar partes de um corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um objeto está distribuída em relação a um eixo de rotação. Matematicamente, para um corpo com densidade , o tensor de inércia é dado por:
Aqui, é a matriz identidade, é o vetor posição de um ponto no corpo, e representa o produto tensorial.

Passo 3

Agora, consideremos que o corpo é composto pelas partes e . Isso significa que a densidade de é a soma das densidades de e :

Passo 4

Substituindo essa soma na expressão do tensor de inércia de , temos:

Passo 5

Podemos separar a integral em duas partes, pois a integral de uma soma é a soma das integrais:
Isso resulta em:

Passo 6

Assim, mostramos que quando o corpo é composto pelas partes e , o tensor de inércia de é a soma dos tensores de inércia de e :

Passo 7

Agora, vamos considerar o segundo cenário onde é obtido removendo a parte de . Nesse caso, a densidade de é:

Passo 8

Substituindo na expressão do tensor de inércia de :
Novamente, utilizando a propriedade da linearidade da integral:

Resposta

Portanto, demonstramos que o tensor de inércia é aditivo: se um corpo é composto por duas partes e , então seu tensor de inércia é . Da mesma forma, se é obtido removendo de , temos .

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