Considere um corpo rígido arbitrário com um eixo de simetria rotacional, que iremos denotar por . (a) Mostre que o eixo de simetria é um eixo principal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que um eixo de simetria rotacional, chamado de , é um eixo principal de um corpo rígido. Isso está na área de dinâmica de corpos rígidos, especificamente envolvendo o tensor de inércia e os eixos principais. Para resolver, vamos precisar entender o que são eixos principais e como a simetria do corpo afeta o tensor de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o tensor de inércia. Ele é uma matriz que descreve como a massa de um corpo está distribuída em relação aos eixos de rotação. Os eixos principais são aqueles onde essa matriz é diagonal, ou seja, não têm termos de acoplamento entre diferentes direções.

Passo 3

Agora, considere que o corpo tem um eixo de simetria rotacional, . Isso significa que, se você girar o corpo em torno desse eixo, sua aparência e a distribuição de massa permanecem as mesmas. Por causa dessa simetria, as componentes de inércia em direções perpendiculares a devem ser iguais.

Passo 4

Vamos formular isso matematicamente. O tensor de inércia geral tem a forma:
Por causa da simetria ao redor de , sabemos que e todos os termos de acoplamento envolvendo , como e , são zero.

Passo 5

Então, o tensor de inércia simplifica para:
Viu como ficou mais simples? Isso mostra que o tensor já está quase diagonal.

Passo 6

Para que seja um eixo principal, precisamos que o tensor de inércia seja totalmente diagonal, sem termos de acoplamento. No nosso caso, já não tem nenhum termo de acoplamento, então o tensor está diagonalizado.

Passo 7

Além disso, como , os eixos e também são eixos principais. Portanto, está alinhado com um dos eixos principais do corpo rígido.

Resposta

O eixo de simetria rotacional é, de fato, um eixo principal do corpo rígido.

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