(a) Obtenha a integral (como no Problema 10.9) para o momento de inércia de um cubo uniforme de lado e massa , girando em torno de um vértice, e mostre que ele é igual a .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cubo uniforme com lado de comprimento e massa total . Queremos calcular o momento de inércia desse cubo quando ele gira em torno de um de seus vértices. O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de momento de inércia, que mede a distribuição da massa em relação ao eixo de rotação. Para resolver isso, vamos precisar integrar a distribuição de massa do cubo em relação ao vértice.

Passo 2

Vamos começar definindo o momento de inércia para um corpo contínuo. A fórmula geral é:
Aqui, é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação. No nosso caso, o eixo de rotação passa por um vértice do cubo.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos posicionar o cubo em um sistema de coordenadas onde o vértice sobre o qual gira está na origem, e os eixos se estendem ao longo das arestas do cubo. Assim, as coordenadas , e variam de 0 a .

Passo 4

A distância de um ponto ao vértice (origem) é dada pela distância euclidiana:
Portanto, .

Passo 5

Para encontrar , precisamos considerar a densidade de massa do cubo. A densidade volumétrica é:
Então, um elemento de volume tem massa:

Passo 6

Substituindo e na integral do momento de inércia:

Passo 7

Vamos separar a integral em três partes, já que pode ser dividida:

Passo 8

Observamos que cada uma das três integrais é igual devido à simetria do cubo. Portanto:

Passo 9

Calculando cada integral separadamente:

Passo 10

Substituindo os valores calculados:

Passo 11

No entanto, isso não leva em conta que o eixo de rotação está em um vértice e não no centro de massa. Para um cubo, o momento de inércia em torno de um vértice é maior devido à aplicação do Teorema de Eixo Paralelo. O momento de inércia em torno de um vértice é:
é
onde é a distância entre o centro de massa e o vértice. Para o cubo, .

Passo 12

Sabemos que o momento de inércia do cubo em torno de seus eixos passando pelo centro de massa é:
Aplicando o Teorema de Eixo Paralelo:
é

Resposta

O momento de inércia do cubo uniforme de lado e massa girando em torno de um vértice é igual a .

Exercícios de Livros Relacionados