(a) Obtenha a integral (como no Problema 10.9) para o momento de inércia de um cubo uniforme de lado
e massa
, girando em torno de um vértice, e mostre que ele é igual a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cubo uniforme com lado de comprimento
e massa total
. Queremos calcular o momento de inércia desse cubo quando ele gira em torno de um de seus vértices. O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de momento de inércia, que mede a distribuição da massa em relação ao eixo de rotação. Para resolver isso, vamos precisar integrar a distribuição de massa do cubo em relação ao vértice.
Passo 2
Vamos começar definindo o momento de inércia
para um corpo contínuo. A fórmula geral é:
Aqui,
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação. No nosso caso, o eixo de rotação passa por um vértice do cubo.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos posicionar o cubo em um sistema de coordenadas onde o vértice sobre o qual gira está na origem, e os eixos se estendem ao longo das arestas do cubo. Assim, as coordenadas
,
e
variam de 0 a
.
Passo 4
A distância
de um ponto
ao vértice (origem) é dada pela distância euclidiana:
Portanto,
.
Passo 5
Para encontrar
, precisamos considerar a densidade de massa do cubo. A densidade volumétrica
é:
Então, um elemento de volume
tem massa:
Passo 6
Substituindo
e
na integral do momento de inércia:
Passo 7
Vamos separar a integral em três partes, já que
pode ser dividida:
Passo 8
Observamos que cada uma das três integrais é igual devido à simetria do cubo. Portanto:
Passo 9
Calculando cada integral separadamente:
Passo 10
Substituindo os valores calculados:
Passo 11
No entanto, isso não leva em conta que o eixo de rotação está em um vértice e não no centro de massa. Para um cubo, o momento de inércia em torno de um vértice é maior devido à aplicação do Teorema de Eixo Paralelo. O momento de inércia em torno de um vértice é:
onde
é a distância entre o centro de massa e o vértice. Para o cubo,
.
Passo 12
Sabemos que o momento de inércia do cubo em torno de seus eixos passando pelo centro de massa é:
Aplicando o Teorema de Eixo Paralelo:
Resposta
O momento de inércia do cubo uniforme de lado
e massa
girando em torno de um vértice é igual a
.