Uma haste fina (de largura zero, mas não necessariamente uniforme) está pivotada livremente em uma extremidade em torno do eixo horizontal
e livre para oscilar no plano
(
horizontal e
vertical para baixo). Sua massa é
, seu CM está a uma distância
a partir do ponto de pivotamento e seu momento de inércia (em torno do eixo
) é
. (a) Obtenha a equação de movimento
e, assumindo que o movimento está restrito a pequenos ângulos (medidos a partir da vertical para baixo), determine o período deste pêndulo composto. (“Pêndulo composto” é tradicionalmente usado para significar qualquer pêndulo cuja massa está distribuída - em contraste com um “pêndulo simples”, cuja massa está concentrada em um único ponto em uma haste de massa desprezível.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulo composto. A questão fala de uma haste fina que oscila livremente em um plano, com algumas características físicas dadas: massa
, centro de massa a uma distância
do ponto de pivotamento, e momento de inércia
. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de torque (
), momento angular (
) e movimento harmônico simples para encontrar o período das oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação
representa. Aqui,
é a derivada do momento angular em relação ao tempo, e
é o torque aplicado no eixo
. Essa equação é essencialmente a segunda lei de Newton para rotação, que relaciona a variação do momento angular com o torque.
Passo 3
Vamos calcular o torque (
) que age sobre a haste. Quando a haste está deslocada por um pequeno ângulo
da posição de equilíbrio (vertical), a força peso
atua no centro de massa, criando um torque que tenta trazer a haste de volta à posição vertical. O torque é dado por:
Como estamos considerando pequenos ângulos, podemos aproximar
. Então, o torque fica:
Passo 4
Agora, vamos relacionar o momento angular (
) com o ângulo
. O momento angular para uma rotação em torno do eixo
é:
onde
é a velocidade angular, que é a derivada de
em relação ao tempo:
Portanto:
A derivada de
em relação ao tempo é:
Passo 5
Substituindo
e
na equação de movimento
, temos:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo composto.
Passo 6
Essa equação é da forma de um movimento harmônico simples:
A solução dessa equação nos dá o período
das oscilações, que é dado por:
Resposta
O período do pêndulo composto é: