Uma haste fina (de largura zero, mas não necessariamente uniforme) está pivotada livremente em uma extremidade em torno do eixo horizontal e livre para oscilar no plano ( horizontal e vertical para baixo). Sua massa é , seu CM está a uma distância a partir do ponto de pivotamento e seu momento de inércia (em torno do eixo ) é . (a) Obtenha a equação de movimento e, assumindo que o movimento está restrito a pequenos ângulos (medidos a partir da vertical para baixo), determine o período deste pêndulo composto. (“Pêndulo composto” é tradicionalmente usado para significar qualquer pêndulo cuja massa está distribuída - em contraste com um “pêndulo simples”, cuja massa está concentrada em um único ponto em uma haste de massa desprezível.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre pêndulo composto. A questão fala de uma haste fina que oscila livremente em um plano, com algumas características físicas dadas: massa , centro de massa a uma distância do ponto de pivotamento, e momento de inércia . Para resolver, vamos precisar usar conceitos de torque ( ), momento angular ( ) e movimento harmônico simples para encontrar o período das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Aqui, é a derivada do momento angular em relação ao tempo, e é o torque aplicado no eixo . Essa equação é essencialmente a segunda lei de Newton para rotação, que relaciona a variação do momento angular com o torque.

Passo 3

Vamos calcular o torque ( ) que age sobre a haste. Quando a haste está deslocada por um pequeno ângulo da posição de equilíbrio (vertical), a força peso atua no centro de massa, criando um torque que tenta trazer a haste de volta à posição vertical. O torque é dado por:
Como estamos considerando pequenos ângulos, podemos aproximar . Então, o torque fica:

Passo 4

Agora, vamos relacionar o momento angular ( ) com o ângulo . O momento angular para uma rotação em torno do eixo é:
onde é a velocidade angular, que é a derivada de em relação ao tempo:
Portanto:
A derivada de em relação ao tempo é:

Passo 5

Substituindo e na equação de movimento , temos:
Essa é a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo composto.

Passo 6

Essa equação é da forma de um movimento harmônico simples:
A solução dessa equação nos dá o período das oscilações, que é dado por:

Resposta

O período do pêndulo composto é:

Exercícios de Livros Relacionados