Considere um disco sólido uniforme de massa e raio , girando sem deslizar para baixo em um declive, o qual forma um ângulo com a horizontal. O ponto de contato instantâneo entre o disco e a superfície do declive é chamado . Determine a aceleração linear do disco aplicando o resultado para rotação em torno de . (Lembre-se que o momento de inércia para rotação em torno de um ponto sobre uma circunferência é . A condição para que o disco não deslize é , por isso, .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a aceleração linear de um disco sólido que está descendo por um declive sem deslizar. A matéria que vamos usar aqui é a dinâmica da rotação, especificamente usando o conceito de momento angular e torque. Para resolver, vamos precisar saber o momento de inércia do disco em relação ao ponto de contato , a relação entre velocidade linear e angular quando não há deslizamento, e aplicar a fórmula .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no disco enquanto ele desce o declive. Há a força da gravidade que puxa o disco para baixo, e a força de atrito que impede o deslizamento, atuando no ponto de contato . Como o disco não está deslizando, a velocidade linear e a velocidade angular estão relacionadas pela condição .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o torque total em relação ao ponto . O torque é dado pela força multiplicada pela distância perpendicular ao ponto de rotação. A componente da força da gravidade que contribui para o torque é , e a distância é o raio . Assim, o torque total é:

Passo 4

Em seguida, vamos usar a relação , onde é a taxa de variação do momento angular. Sabemos que o momento angular é dado por , e a derivada temporal é . Substituindo na equação:
Dado que , substituímos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Simplificando e :

Passo 6

Lembrando que , substituímos :

Resposta

A aceleração linear do disco é .

Exercícios de Livros Relacionados