Considere um disco sólido uniforme de massa
e raio
, girando sem deslizar para baixo em um declive, o qual forma um ângulo
com a horizontal. O ponto de contato instantâneo entre o disco e a superfície do declive é chamado
. Determine a aceleração linear
do disco aplicando o resultado
para rotação em torno de
. (Lembre-se que
o momento de inércia para rotação em torno de um ponto sobre uma circunferência é
. A condição para que o disco não deslize é
, por isso,
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a aceleração linear
de um disco sólido que está descendo por um declive sem deslizar. A matéria que vamos usar aqui é a dinâmica da rotação, especificamente usando o conceito de momento angular e torque. Para resolver, vamos precisar saber o momento de inércia do disco em relação ao ponto de contato
, a relação entre velocidade linear e angular quando não há deslizamento, e aplicar a fórmula
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no disco enquanto ele desce o declive. Há a força da gravidade que puxa o disco para baixo, e a força de atrito que impede o deslizamento, atuando no ponto de contato
. Como o disco não está deslizando, a velocidade linear
e a velocidade angular
estão relacionadas pela condição
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o torque total
em relação ao ponto
. O torque é dado pela força multiplicada pela distância perpendicular ao ponto de rotação. A componente da força da gravidade que contribui para o torque é
, e a distância é o raio
. Assim, o torque total é:
Passo 4
Em seguida, vamos usar a relação
, onde
é a taxa de variação do momento angular. Sabemos que o momento angular
é dado por
, e a derivada temporal é
. Substituindo na equação:
Dado que
, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Simplificando
e
:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos
:
Resposta
A aceleração linear do disco é
.