Considere um disco sólido uniforme de massa e raio , girando sem deslizar para baixo em um declive, o qual forma um ângulo com a horizontal. O ponto de contato instantâneo entre o disco e a superfície do declive é chamado . Deduza o mesmo resultado aplicando para a rotação em torno do CM. (Neste caso, você irá verificar que existe uma nova incógnita, a força de atrito. Você pode eliminá-la aplicando a segunda lei de Newton para o movimento do CM. O momento de inércia para a rotação em torno do CM é .)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um disco sólido e uniforme com massa e raio que está rolando sem deslizar por um declive que faz um ângulo com a horizontal. O ponto de contato instantâneo entre o disco e o declive é o ponto . Nosso objetivo é encontrar uma relação que descreva o movimento desse disco, aplicando a equação , que relaciona a variação do momento angular com o torque externo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e a segunda lei de Newton para o movimento do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no disco. Temos:
  1. Peso ( ): Age para baixo, com magnitude , onde é a aceleração da gravidade.
  2. Normal ( ): Perpendicular ao declive.
  3. Força de atrito ( ): Paralela ao declive e impede o deslizamento, permitindo que o disco role.
Como o disco está rolando sem deslizar, há uma condição de rolamento puro que relaciona a aceleração linear do centro de massa com a aceleração angular através da relação .

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento linear do centro de massa. A componentes das forças na direção do declive são:
Aqui, é a componente do peso paralela ao declive, e é a força de atrito que atua na direção oposta ao movimento.

Passo 4

Agora, vamos considerar a rotação do disco em torno do centro de massa. A relação entre o torque externo e a variação do momento angular é dada por:
O torque externo responsável é a força de atrito aplicada no ponto de contato , que gera um torque de magnitude .
O momento de inércia do disco em torno do centro de massa é , e a aceleração angular está relacionada ao torque pela equação:
Substituindo os valores:
Usando a condição de rolamento puro , podemos substituir :
Simplificando:

Passo 5

Agora, voltamos à equação da segunda lei de Newton para o movimento linear:
Substituindo :
Dividindo todos os termos por :
Somando em ambos os lados:

Passo 6

Finalmente, isolamos a aceleração :

Resposta

A aceleração do disco rolando sem deslizar pelo declive é .

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