Considere um disco sólido uniforme de massa
e raio
, girando sem deslizar para baixo em um declive, o qual forma um ângulo
com a horizontal. O ponto de contato instantâneo entre o disco e a superfície do declive é chamado
. Deduza o mesmo resultado aplicando
para a rotação em torno do CM. (Neste caso, você irá verificar que existe uma nova incógnita, a força de atrito. Você pode eliminá-la aplicando a segunda lei de Newton para o movimento do CM. O momento de inércia para a rotação em torno do CM é
.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um disco sólido e uniforme com massa
e raio
que está rolando sem deslizar por um declive que faz um ângulo
com a horizontal. O ponto de contato instantâneo entre o disco e o declive é o ponto
. Nosso objetivo é encontrar uma relação que descreva o movimento desse disco, aplicando a equação
, que relaciona a variação do momento angular com o torque externo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica rotacional e a segunda lei de Newton para o movimento do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no disco. Temos:
- Peso (
): Age para baixo, com magnitude , onde é a aceleração da gravidade. - Normal (
): Perpendicular ao declive. - Força de atrito (
): Paralela ao declive e impede o deslizamento, permitindo que o disco role.
Como o disco está rolando sem deslizar, há uma condição de rolamento puro que relaciona a aceleração linear
do centro de massa com a aceleração angular
através da relação
.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para o movimento linear do centro de massa. A componentes das forças na direção do declive são:
Aqui,
é a componente do peso paralela ao declive, e
é a força de atrito que atua na direção oposta ao movimento.
Passo 4
Agora, vamos considerar a rotação do disco em torno do centro de massa. A relação entre o torque externo e a variação do momento angular é dada por:
O torque externo responsável é a força de atrito
aplicada no ponto de contato
, que gera um torque de magnitude
.
O momento de inércia
do disco em torno do centro de massa é
, e a aceleração angular
está relacionada ao torque pela equação:
Substituindo os valores:
Usando a condição de rolamento puro
, podemos substituir
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, voltamos à equação da segunda lei de Newton para o movimento linear:
Substituindo
:
Dividindo todos os termos por
:
Somando
em ambos os lados:
Passo 6
Finalmente, isolamos a aceleração
:
Resposta
A aceleração do disco rolando sem deslizar pelo declive é
.