Uma partícula se move sob a influência de uma força central dirigida para uma origem fixa . Explique por que o momento angular da partícula em torno de é constante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. O exercício nos diz que uma partícula está se movendo sob a influência de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para uma origem fixa . O assunto aqui é momentum angular na física, e vamos precisar entender como a força central influencia o momentum angular da partícula para mostrar por que ele permanece constante.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o momentum angular. Para uma partícula, o momentum angular em relação a um ponto é dado por:
onde é o vetor posição da partícula em relação a e é o momentum linear da partícula.

Passo 3

Agora, para saber se o momentum angular é constante, precisamos olhar para a variação temporal dele, ou seja, sua derivada em relação ao tempo:
Usando a regra do produto para derivadas, temos:

Passo 4

Sabemos que (a velocidade da partícula) e (a força aplicada na partícula). Substituindo esses valores:

Passo 5

O momentum linear é , então:
Isso porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero.

Passo 6

Portanto, a equação simplifica para:
O termo é o torque aplicado na partícula:

Passo 7

No caso de uma força central, a força está sempre na direção de , ou seja, é paralelo a . Isso significa que o ângulo entre e é zero, e o produto vetorial entre vetores paralelos é zero:

Passo 8

Com o torque sendo zero, a derivada do momentum angular também é zero:
Isso significa que o momentum angular não muda com o tempo.

Resposta

Portanto, o momentum angular da partícula em torno de é constante porque a força central não gera torque, fazendo com que o momentum angular permaneça inalterado durante o movimento.

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