Uma partícula se move sob a influência de uma força central dirigida para uma origem fixa
. Explique por que o momento angular da partícula em torno de
é constante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. O exercício nos diz que uma partícula está se movendo sob a influência de uma força central, ou seja, uma força que sempre aponta para uma origem fixa
. O assunto aqui é momentum angular na física, e vamos precisar entender como a força central influencia o momentum angular da partícula para mostrar por que ele permanece constante.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é o momentum angular. Para uma partícula, o momentum angular
em relação a um ponto
é dado por:
onde
é o vetor posição da partícula em relação a
e
é o momentum linear da partícula.
Passo 3
Agora, para saber se o momentum angular é constante, precisamos olhar para a variação temporal dele, ou seja, sua derivada em relação ao tempo:
Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Passo 4
Sabemos que
(a velocidade da partícula) e
(a força aplicada na partícula). Substituindo esses valores:
Passo 5
O momentum linear
é
, então:
Isso porque o produto vetorial de qualquer vetor com ele mesmo é zero.
Passo 6
Portanto, a equação simplifica para:
O termo
é o torque
aplicado na partícula:
Passo 7
No caso de uma força central, a força
está sempre na direção de
, ou seja,
é paralelo a
. Isso significa que o ângulo entre
e
é zero, e o produto vetorial entre vetores paralelos é zero:
Passo 8
Com o torque sendo zero, a derivada do momentum angular também é zero:
Isso significa que o momentum angular
não muda com o tempo.
Resposta
Portanto, o momentum angular da partícula em torno de
é constante porque a força central não gera torque, fazendo com que o momentum angular permaneça inalterado durante o movimento.