Um foguete (com massa inicial ) precisa usar seus motores para pairar estático, um pouco acima do solo. Se ele pode desprender no máximo uma quantidade de massa de seu combustível inicial, por quanto tempo pode ele pairar? [Sugestão: escreva a condição para que a propulsão apenas se equipare à força da gravidade. Você pode integrar a equação resultante por separação de variáveis e . Considere como sendo constante.]

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta um foguete com uma massa inicial que precisa usar seus motores para ficar parado no ar, ou seja, pairar estático. A questão está dentro do conteúdo de Dinâmica de foguetes e Equilíbrio de forças. Para resolver, vamos precisar igualar a força de propulsão à força da gravidade e resolver uma equação diferencial que relaciona o tempo com a massa do foguete. Além disso, vamos considerar que a velocidade de exaustão permanece constante.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para o foguete pairar, a força que ele gera para cima (força de propulsão) deve ser igual à força que puxa para baixo (força da gravidade). A força da gravidade que age sobre o foguete é dada por:
onde é a massa do foguete naquele instante e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A força de propulsão dos motores do foguete é determinada pela taxa de variação da massa ( ) e pela velocidade de exaustão ( ) dos gases. Essa força é dada por:
ã
Para que o foguete paire, essas duas forças devem ser iguais:

Passo 4

Queremos encontrar o tempo que o foguete pode pairar. Sabemos que o foguete pode perder no máximo uma quantidade de massa . Vamos expressar a taxa de variação da massa em termos de :
A equação de equilíbrio fica então:

Passo 5

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração dos limites de massa vai de a , e a integração do tempo vai de a :

Passo 6

Calculando as integrais:

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Resposta

O tempo durante o qual o foguete pode pairar é dado por:

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