Dois objetos e estão se aproximando um do outro, viajando em direções opostas ao longo do eixo do referencial , com velocidade e . No instante , eles estão nas posições e . Obtenha as suas posições para um instante arbitrário e mostre que eles se encontram no instante . Observe que isso implica que a velocidade relativa dos dois objetos é medida no referencial , no qual eles estão se movendo. Isso pode parecer surpresa em um primeiro momento, visto que podemos claramente escolher valores de para os quais esta velocidade relativa seja maior do que .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois objetos, o A e o B, que estão indo um em direção ao outro ao longo do eixo x. O objeto A começa na posição x = 0 e o objeto B começa na posição x = d no tempo t = 0. As velocidades deles são v_A e v_B, respectivamente. Nosso objetivo é descobrir onde cada objeto estará em um tempo qualquer t e provar que eles se encontram no tempo t = \frac{d}{v_A + v_B}. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento retilíneo uniforme e como calcular posições e tempos de encontro.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as posições dos objetos A e B em qualquer instante de tempo t. Como os objetos estão se movendo em linha reta com velocidades constantes, podemos usar a fórmula do movimento retilíneo uniforme:
onde:
  • x(t) é a posição no tempo t
  • x_0 é a posição inicial
  • v é a velocidade
Para o objeto A:
Para o objeto B, como ele está se movendo na direção oposta, precisamos considerar que sua velocidade é negativa em relaç��o ao objeto A:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o tempo t em que os dois objetos se encontram, ou seja, quando x_A(t) = x_B(t). Vamos igualar as duas expressões:
Vamos resolver essa equação para t:

Resposta

Os objetos A e B se encontram no instante t = \frac{d}{v_A + v_B}.

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