Uma partícula está confinada a mover-se sobre a superfície de um cone circular, com seu eixo sobre o eixo
, vértice na origem (apontando para baixo) e ângulo de abertura
. A posição da partícula pode ser especificada por duas coordenadas generalizadas que você pode escolher como sendo as coordenadas polares
do cilindro. Obtenha as equações que fornecem as três coordenadas Cartesianas da partícula em termos das coordenadas generalizadas
e vice-versa.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move sobre a superfície de um cone. Esse cone tem seu eixo alinhado com o eixo
e está posicionado de tal forma que o vértice está na origem, apontando para baixo, com um ângulo de abertura
.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com coordenadas cilíndricas e cartesianas. Precisamos entender como converter entre essas coordenadas, especialmente levando em conta a restrição da partícula ao cone.
O que vamos precisar:
- Conhecimentos básicos de coordenadas cilíndricas
e cartesianas . - Relações trigonométricas para relacionar as coordenadas no cone.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas cartesianas em termos das coordenadas cilíndricas. As relações são:
Mas, no nosso caso, a partícula está restrita à superfície do cone. Precisamos encontrar uma relação entre
e
que descreva essa superfície.
Passo 3
O cone tem um ângulo de abertura
. Isso significa que o ângulo entre o eixo
e qualquer geratriz do cone é
. Podemos usar trigonometria para relacionar
e
.
Usando o triângulo formado pelo eixo
, a distância
e a geratriz do cone, temos:
Como o cone aponta para baixo,
será negativo. Então:
Passo 4
Agora que temos a relação entre
e
, podemos expressar as coordenadas cartesianas
em termos das coordenadas generalizadas
.
Sabemos que:
E da relação do cone:
Então, temos as três coordenadas cartesianas em termos de
e
:
Passo 5
Agora, vamos fazer o caminho inverso: expressar
e
em termos de
.
Primeiro,
é simplesmente a distância do ponto à origem na projeção no plano
:
Para
, usamos a função arco-tangente que relaciona as coordenadas
e
:
E para confirmar a relação com
, lembramos que:
Resposta
As três coordenadas cartesianas da partícula em termos das coordenadas generalizadas
são:
E, inversamente, as coordenadas generalizadas em termos das coordenadas cartesianas são: