Uma partícula está confinada a mover-se sobre uma superfície de um cone circular, com seu eixo sobre o eixo vertical , o vértice na origem (apontando para baixo), e ângulo de abertura . Determine as duas equações de movimento. Interprete a equação em termos do momento angular e use-a para eliminar da equação em prol da constante . Sua equação de faz sentido no caso em que ? Determine o valor de para o qual a partícula pode permanecer em uma trajetória circular horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que está se movendo sobre a superfície de um cone circular. O cone tem seu eixo alinhado com o eixo vertical , o vértice na origem e um ângulo de abertura . Nosso objetivo é encontrar as duas equações de movimento dessa partícula. Além disso, vamos interpretar a equação para em termos do momento angular e usar isso para substituir na equação de , usando a constante . Também vamos verificar se a equação de faz sentido quando e determinar o valor de para que a partícula possa manter uma trajetória circular horizontal.
Matéria envolvida: Mecânica Clássica, especificamente o movimento em coordenadas cilíndricas, conservação do momento angular e forças em um sistema restrito.
O que vamos precisar: Leis de Newton, equações de movimento em coordenadas cilíndricas, conceito de momento angular e conservação desse momento.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer o sistema de coordenadas. Como a partícula está se movendo sobre um cone, é natural usar coordenadas cilíndricas . Sabemos que o cone tem um ângulo de abertura , o que relaciona e pela equação .
Como a partícula está sempre na superfície do cone, podemos relacionar e usando a derivada da equação do cone:

Passo 3

Agora, vamos escrever a energia cinética da partícula. Em coordenadas cilíndricas, a energia cinética é dada por:
Substituindo da relação anterior:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

A energia potencial da partícula devido à gravidade é:
Agora, podemos construir o Lagrangiano :

Passo 5

Vamos aplicar as equações de Lagrange para obter as equações de movimento. As coordenadas generalizadas são e .
Para :
Calculando os termos:
Então, a equação de movimento para é:
Simplificando dividindo por :

Passo 6

Para , a coordenada é cíclica (não aparece explicitamente no Lagrangiano), o que implica na conservação do momento angular. Vamos calcular:
Como , temos que é constante:

Passo 7

Vamos substituir na equação de movimento para :
Simplificando:
Para movimentos estacionários onde :

Passo 8

Resolvendo para :
Então:

Resposta

A equação de movimento para faz sentido apenas quando . Quando , a partícula não possui momento angular, indicando que não há movimento circular, o que confirma que tende a crescer indefinidamente ou não se mantém em uma trajetória circular. O valor de para o qual a partícula pode permanecer em uma trajetória circular horizontal é:

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