Uma partícula está confinada a mover-se sobre uma superfície de um cone circular, com seu eixo sobre o eixo vertical
, o vértice na origem (apontando para baixo), e ângulo de abertura
. Determine as duas equações de movimento. Interprete a equação
em termos do momento angular
e use-a para eliminar
da equação
em prol da constante
. Sua equação de
faz sentido no caso em que
? Determine o valor
de
para o qual a partícula pode permanecer em uma trajetória circular horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula que está se movendo sobre a superfície de um cone circular. O cone tem seu eixo alinhado com o eixo vertical
, o vértice na origem e um ângulo de abertura
. Nosso objetivo é encontrar as duas equações de movimento dessa partícula. Além disso, vamos interpretar a equação para
em termos do momento angular
e usar isso para substituir
na equação de
, usando a constante
. Também vamos verificar se a equação de
faz sentido quando
e determinar o valor de
para que a partícula possa manter uma trajetória circular horizontal.
Matéria envolvida: Mecânica Clássica, especificamente o movimento em coordenadas cilíndricas, conservação do momento angular e forças em um sistema restrito.
O que vamos precisar: Leis de Newton, equações de movimento em coordenadas cilíndricas, conceito de momento angular e conservação desse momento.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer o sistema de coordenadas. Como a partícula está se movendo sobre um cone, é natural usar coordenadas cilíndricas
. Sabemos que o cone tem um ângulo de abertura
, o que relaciona
e
pela equação
.
Como a partícula está sempre na superfície do cone, podemos relacionar
e
usando a derivada da equação do cone:
Passo 3
Agora, vamos escrever a energia cinética da partícula. Em coordenadas cilíndricas, a energia cinética
é dada por:
Substituindo
da relação anterior:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 4
A energia potencial
da partícula devido à gravidade é:
Agora, podemos construir o Lagrangiano
:
Passo 5
Vamos aplicar as equações de Lagrange para obter as equações de movimento. As coordenadas generalizadas são
e
.
Para
:
Calculando os termos:
Então, a equação de movimento para
é:
Simplificando dividindo por
:
Passo 6
Para
, a coordenada é cíclica (não aparece explicitamente no Lagrangiano), o que implica na conservação do momento angular. Vamos calcular:
Como
, temos que
é constante:
Passo 7
Vamos substituir
na equação de movimento para
:
Simplificando:
Para movimentos estacionários onde
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Então:
Resposta
A equação de movimento para
faz sentido apenas quando
. Quando
, a partícula não possui momento angular, indicando que não há movimento circular, o que confirma que
tende a crescer indefinidamente ou não se mantém em uma trajetória circular. O valor de
para o qual a partícula pode permanecer em uma trajetória circular horizontal é: