Uma massa
está suspensa por um fio de massa desprezível, a outra extremidade do fio está enrolada várias vezes em torno de um cilindro horizontal de raio
e momento de inércia
, o qual está livre para girar em torno de um eixo horizontal fixo. Usando coordenadas apropriadas, especifique a Lagrangiana e a equação de movimento de Lagrange e determine a acelerção da massa
. [A energia cinética do cilindro girando é
.]
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma massa
pendurada por um fio sem massa, e a outra ponta desse fio tá enrolada em um cilindro que pode girar livremente. O cilindro tem raio
e momento de inércia
. Nosso objetivo é usar a Lagrangiana para encontrar a equação de movimento e, por fim, descobrir a aceleração da massa
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética e potencial do sistema e aplicar as equações de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas apropriadas para descrever o movimento. Como o cilindro gira quando a massa desce, podemos usar como coordenada generalizada o deslocamento vertical da massa
. Quando a massa desce uma distância
, o fio desenrola um arco de comprimento
no cilindro. A relação entre o deslocamento da massa e o ângulo de rotação
do cilindro é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema. Temos duas partes: a energia cinética da massa
em movimento e a energia cinética do cilindro girando.
A energia cinética da massa
é:
A energia cinética do cilindro é fornecida no enunciado:
Como
, substituímos:
Então, a energia cinética total é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial do sistema. A única força potencial envolvida é a gravidade agindo sobre a massa
:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
A Lagrangiana (
) é dada pela diferença entre a energia cinética total e a energia potencial:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a equação de Lagrange:
Onde
.
Primeiro, calculamos
:
Depois, derivamos em relação ao tempo:
Agora, calculamos
:
Passo 7
Substituindo na equação de Lagrange:
Isolando a aceleração
:
Como a aceleração é para baixo, podemos considerar:
Resposta
A aceleração da massa
é: