Uma massa está suspensa por um fio de massa desprezível, a outra extremidade do fio está enrolada várias vezes em torno de um cilindro horizontal de raio e momento de inércia , o qual está livre para girar em torno de um eixo horizontal fixo. Usando coordenadas apropriadas, especifique a Lagrangiana e a equação de movimento de Lagrange e determine a acelerção da massa . [A energia cinética do cilindro girando é .]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. Temos uma massa pendurada por um fio sem massa, e a outra ponta desse fio tá enrolada em um cilindro que pode girar livremente. O cilindro tem raio e momento de inércia . Nosso objetivo é usar a Lagrangiana para encontrar a equação de movimento e, por fim, descobrir a aceleração da massa . Para isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética e potencial do sistema e aplicar as equações de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas apropriadas para descrever o movimento. Como o cilindro gira quando a massa desce, podemos usar como coordenada generalizada o deslocamento vertical da massa . Quando a massa desce uma distância , o fio desenrola um arco de comprimento no cilindro. A relação entre o deslocamento da massa e o ângulo de rotação do cilindro é dada por:

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema. Temos duas partes: a energia cinética da massa em movimento e a energia cinética do cilindro girando.
A energia cinética da massa é:
A energia cinética do cilindro é fornecida no enunciado:
Como , substituímos:
Então, a energia cinética total é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial do sistema. A única força potencial envolvida é a gravidade agindo sobre a massa :
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

A Lagrangiana ( ) é dada pela diferença entre a energia cinética total e a energia potencial:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a equação de Lagrange:
Onde .
Primeiro, calculamos :
Depois, derivamos em relação ao tempo:
Agora, calculamos :

Passo 7

Substituindo na equação de Lagrange:
Isolando a aceleração :
Como a aceleração é para baixo, podemos considerar:

Resposta

A aceleração da massa é:

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