Temos aqui um mapa iterativo que é facilmente estudado com a ajuda de uma calculadora: Seja , onde . Se você escolher qualquer valor para , você pode determinar simplesmente pressionando o botão cosseno na sua calculadora repetidamente. (Certifique-se de que a calculadora está no modo radianos.) (a) Tente isso para vários valores diferentes de , determinando os primeiros 30 valores de . Descreva o que acontece.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explorar o que acontece quando aplicamos repetidamente a função cosseno, começando de diferentes valores iniciais . Basicamente, usamos a regra e vamos calculando os próximos valores até chegar no . Para isso, precisamos saber sobre funções iterativas e entender como usar uma calculadora no modo radiano.

Passo 2

Primeiro, escolhi alguns valores diferentes para . Por exemplo, vamos começar com radiano.

Passo 3

Agora, aplico a função cosseno para encontrar :

Passo 4

Em seguida, aplico novamente a função cosseno para encontrar :

Passo 5

Continuo esse processo até chegar em . A cada passo, uso o valor anterior e calculo o cosseno desse valor.

Passo 6

Fiz isso para vários valores iniciais diferentes, como , e , sempre repetindo a aplicação do cosseno para obter os próximos valores.

Passo 7

Depois de calcular os 30 primeiros valores para cada , observei o que acontece com a sequência. Notei que, independentemente do valor de partida, os valores começaram a se aproximar de um número específico.

Passo 8

Esse número específico para onde a sequência converge é conhecido como ponto fixo da função . Ou seja, é o valor tal que .

Passo 9

Calculando isso, descobri que o ponto fixo de é aproximadamente radianos. Isso significa que, após várias iterações, os valores se aproximam desse número.

Passo 10

Portanto, independente de onde a gente comece, a sequência tende a se estabilizar perto desse ponto fixo, apresentando um comportamento de convergência.

Resposta

Após calcular os primeiros 30 valores para diferentes valores iniciais , observei que todas as sequências convergem para aproximadamente radianos, mostrando que a aplicação repetida da função cosseno leva a esse ponto fixo.

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