Temos aqui um mapa iterativo que é facilmente estudado com a ajuda de uma calculadora: Seja
, onde
. Se você escolher qualquer valor para
, você pode determinar
simplesmente pressionando o botão cosseno na sua calculadora repetidamente. (Certifique-se de que a calculadora está no modo radianos.) (a) Tente isso para vários valores diferentes de
, determinando os primeiros 30 valores de
. Descreva o que acontece.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explorar o que acontece quando aplicamos repetidamente a função cosseno, começando de diferentes valores iniciais
. Basicamente, usamos a regra
e vamos calculando os próximos valores até chegar no
. Para isso, precisamos saber sobre funções iterativas e entender como usar uma calculadora no modo radiano.
Passo 2
Primeiro, escolhi alguns valores diferentes para
. Por exemplo, vamos começar com
radiano.
Passo 3
Agora, aplico a função cosseno para encontrar
:
Passo 4
Em seguida, aplico novamente a função cosseno para encontrar
:
Passo 5
Continuo esse processo até chegar em
. A cada passo, uso o valor anterior e calculo o cosseno desse valor.
Passo 6
Fiz isso para vários valores iniciais diferentes, como
,
e
, sempre repetindo a aplicação do cosseno para obter os próximos valores.
Passo 7
Depois de calcular os 30 primeiros valores para cada
, observei o que acontece com a sequência. Notei que, independentemente do valor de partida, os valores começaram a se aproximar de um número específico.
Passo 8
Esse número específico para onde a sequência converge é conhecido como ponto fixo da função
. Ou seja, é o valor
tal que
.
Passo 9
Calculando isso, descobri que o ponto fixo de
é aproximadamente
radianos. Isso significa que, após várias iterações, os valores
se aproximam desse número.
Passo 10
Portanto, independente de onde a gente comece, a sequência tende a se estabilizar perto desse ponto fixo, apresentando um comportamento de convergência.
Resposta
Após calcular os primeiros 30 valores para diferentes valores iniciais
, observei que todas as sequências convergem para aproximadamente
radianos, mostrando que a aplicação repetida da função cosseno leva a esse ponto fixo.