Considere a equação não linear de primeira ordem . (b) Sua solução deve conter uma constante de integração , assim você pode muito bem pensar que ela é a solução geral. Mostre, no entanto, que há outra solução, , que não é da forma de , qualquer que seja o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial não linear de primeira ordem: . O conteúdo aqui envolve resolução de equações diferenciais, especificamente usando métodos de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis e . Começamos dividindo ambos os lados por :
Aqui, movemos todos os termos que envolvem para o lado esquerdo e os termos que envolvem para o lado direito.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a e a integral do lado direito em relação a :
Isso nos permite encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Calculando as integrais:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. Então temos:

Passo 5

Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 2:
Agora, para isolar , elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, que inclui a constante de integração .

Passo 7

Agora, a questão pede para mostrarmos que existe outra solução, , que não está na forma da solução geral , independentemente do valor de .
Vamos verificar se é uma solução da equação original:
Calculamos .
Substituindo na equação original:
Como a igualdade é verdadeira, é, de fato, uma solução da equação diferencial.

Resposta

Além da solução geral , a equação diferencial dada também possui a solução particular , que não está na forma da solução geral para nenhum valor de .

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