Considere a equação não linear de primeira ordem
. (b) Sua solução deve conter uma constante de integração
, assim você pode muito bem pensar que ela é a solução geral. Mostre, no entanto, que há outra solução,
, que não é da forma de
, qualquer que seja o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial não linear de primeira ordem:
. O conteúdo aqui envolve resolução de equações diferenciais, especificamente usando métodos de separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis
e
. Começamos dividindo ambos os lados por
:
Aqui, movemos todos os termos que envolvem
para o lado esquerdo e os termos que envolvem
para o lado direito.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e a integral do lado direito em relação a
:
Isso nos permite encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Calculando as integrais:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração. Então temos:
Passo 5
Vamos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 2:
Agora, para isolar
, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada, que inclui a constante de integração
.
Passo 7
Agora, a questão pede para mostrarmos que existe outra solução,
, que não está na forma da solução geral
, independentemente do valor de
.
Vamos verificar se
é uma solução da equação original:
Calculamos
.
Substituindo na equação original:
Como a igualdade é verdadeira,
é, de fato, uma solução da equação diferencial.
Resposta
Além da solução geral
, a equação diferencial dada também possui a solução particular
, que não está na forma da solução geral para nenhum valor de
.