Considere uma esfera (diâmetro , densidade caindo no ar (densidade ) e assuma que a força de arrasto é puramente quadrática. (a) Use a Equação (2.84) do Problema 2.4 ( para a esfera) para mostrar que a velocidade limite é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera que está caindo no ar e quer a gente achar a velocidade limite dela. A velocidade limite é a velocidade constante que a esfera atinge quando a força da gravidade é equilibrada pela força de arrasto do ar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, densidade e um pouquinho de matemática com a equação dada no problema. Precisamos saber sobre forças em equilíbrio e como a força de arrasto funciona quando ela é proporcional ao quadrado da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam na esfera. Tem a força da gravidade puxando a esfera pra baixo, que é calculada pela fórmula:
onde é a massa da esfera e é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A massa da esfera pode ser expressa em termos da densidade e do volume. Como estamos falando de uma esfera com diâmetro , o volume é:
Então, a massa fica:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a força de arrasto, que no caso é quadrática, ou seja, depende do quadrado da velocidade. A equação da força de arrasto é:
onde:
  • é um coeficiente (aqui, para uma esfera),
  • é a densidade do ar,
  • é a área de referência (no caso da esfera, a área de projeção, que é ),
  • é a velocidade.

Passo 5

No equilíbrio, a força da gravidade é igual à força de arrasto. Então, temos:
Substituindo e :

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar o de ambos os lados:
Multiplicando os termos:

Passo 7

Agora, vamos isolar :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para achar :

Resposta

A velocidade limite da esfera é

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