Considere uma esfera (diâmetro
, densidade
caindo no ar (densidade
) e assuma que a força de arrasto é puramente quadrática. (a) Use a Equação (2.84) do Problema 2.4 (
para a esfera) para mostrar que a velocidade limite é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera que está caindo no ar e quer a gente achar a velocidade limite dela. A velocidade limite é a velocidade constante que a esfera atinge quando a força da gravidade é equilibrada pela força de arrasto do ar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, densidade e um pouquinho de matemática com a equação dada no problema. Precisamos saber sobre forças em equilíbrio e como a força de arrasto funciona quando ela é proporcional ao quadrado da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam na esfera. Tem a força da gravidade puxando a esfera pra baixo, que é calculada pela fórmula:
onde
é a massa da esfera e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
A massa
da esfera pode ser expressa em termos da densidade
e do volume. Como estamos falando de uma esfera com diâmetro
, o volume
é:
Então, a massa fica:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a força de arrasto, que no caso é quadrática, ou seja, depende do quadrado da velocidade. A equação da força de arrasto
é:
onde:
-
é um coeficiente (aqui, para uma esfera), -
é a densidade do ar, -
é a área de referência (no caso da esfera, a área de projeção, que é ), -
é a velocidade.
Passo 5
No equilíbrio, a força da gravidade é igual à força de arrasto. Então, temos:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar o
de ambos os lados:
Multiplicando os termos:
Passo 7
Agora, vamos isolar
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para achar
:
Resposta
A velocidade limite da esfera é