Considere um projétil lançado com velocidade ( ) a partir do solo horizontal (com medido horizontalmente e verticalmente para cima). Assumindo a ausência de resistência do ar, determine por quanto tempo o projétil está no ar e mostre que a distância percorrida por ele antes de aterrissar (o alcance horizontal) é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um projétil lançado do chão com certas velocidades iniciais nas direções horizontal e vertical, representadas por e respectivamente. A gente vai usar conceitos de cinemática para descobrir dois pontos:
  1. Tempo de voo do projétil, ou seja, quanto tempo ele fica no ar.
  2. Alcance horizontal, que é a distância percorrida pelo projétil antes de aterrissar.
Vamos precisar usar as fórmulas de movimento uniformemente acelerado, considerando que a única força atuando é a gravidade ( ), que puxa o projétil para baixo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o tempo total de voo. Para isso, focamos no movimento vertical. Sabemos que o projétil sobe até um certo ponto e depois desce de volta ao solo. O tempo de subida é igual ao tempo de descida.
A velocidade vertical inicial é , e a aceleração devido à gravidade é (vamos considerar positiva para simplificar os sinais).
A fórmula para o tempo até o ponto mais alto (onde a velocidade vertical fica zero) é:
Como o tempo de descida é igual, o tempo total de voo ( ) é:

Passo 3

Agora que temos o tempo total de voo, vamos calcular o alcance horizontal. Para isso, analisamos o movimento horizontal. Como não tem resistência do ar, a velocidade horizontal ( ) permanece constante durante todo o voo.
A fórmula para a distância percorrida é:
Substituindo que encontramos:

Resposta

O projétil fica no ar por um tempo total de segundos e atinge um alcance horizontal de .

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