Considere a função de onda
[
\Psi(x, 0)= á
]
em que é um número positivo inteiro. Essa função é puramente sinusoidal (com comprimentos de onda ) no intervalo , mas ainda carrega uma faixa de momentos, pois as oscilações não seguem até o infinito. Descubra a função de onda para o espaço de momento . Faça o gráfico de e e determine suas larguras, (a distância entre os zeros de cada lado do ponto principal). Observe o que acontece com cada largura quando . Usando como estimativas de e , verifique se o princípio da incerteza é satisfeito. Atenção: se você tentar calcular , terá uma desagradável surpresa. Você consegue diagnosticar o problema?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que esse exercício tá pedindo. A gente tem uma função de onda que é pura sinusoidal dentro do intervalo e zero fora disso. O objetivo aqui é encontrar a função de onda no espaço de momento, , fazer os gráficos das probabilidades e , determinar as larguras e , ver o que acontece com essas larguras quando tende ao infinito, e verificar se o princípio da incerteza tá sendo respeitado usando essas larguras como estimativas para e . Vamos precisar usar conceitos de funções de onda, transformada de Fourier e princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de onda . Ela é dada por:
á
Isso significa que dentro do intervalo a , a função de onda é uma onda exponencial complexa, que representa uma onda sinusoidal pura com comprimento de onda . Fora desse intervalo, a função é zero.

Passo 3

Para encontrar a função de onda no espaço de momento , precisamos usar a transformada de Fourier da função de onda no espaço real. A transformada de Fourier relaciona a função de onda em com a função de onda em , permitindo-nos passar do espaço de posição para o espaço de momento.
A fórmula da transformada de Fourier para a função de onda é:
Onde é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

Como é zero fora de , podemos limitar nossa integral a esse intervalo:
Vamos simplificar os termos constantes:

Passo 5

Essa integral é uma integral de uma exponencial complexa, que podemos resolver usando a fórmula:
Aplicando isso na nossa integral:
Calculando os limites:
Podemos reconhecer a diferença de exponenciais como uma função seno:
Então:

Passo 6

Agora substituímos de volta na expressão de :
Simplificando os fatores constantes:
Podemos simplificar ainda mais, mas para fins de entendimento, vamos deixar assim e focar na interpretação.

Passo 7

Agora, vamos analisar os gráficos de e .
Para :
á
Isso significa que a densidade de probabilidade em é constante dentro do intervalo a e zero fora.
Para , a expressão é mais complexa, mas essencialmente temos que:
Esse termo descreve uma função com picos máximos quando , ou seja, quando , e com zeros periódicos ao redor desses picos.

Passo 8

Agora, vamos determinar as larguras e .
Para , como é uma função constante entre e , a largura é simplesmente a extensão desse intervalo:
Para , a largura pode ser estimada observando a distância entre os zeros em torno do pico principal. Observando a função seno no numerador, os zeros ocorrem quando:
Considerando o primeiro zero próximo ao pico principal ( ):
A distância entre os zeros ao lado do pico principal é aproximadamente:

Passo 9

Agora, vamos analisar o que acontece com e quando :
Ou seja, conforme aumenta, tende ao infinito e tende a zero.

Passo 10

Vamos verificar o princípio da incerteza de Heisenberg, que afirma que:
Aqui, estamos usando e como estimativas para e :
Multiplicando esses valores:
Como , o princípio da incerteza é satisfeito.

Passo 11

Sobre o aviso referente ao cálculo de : ao tentar calcular a variância do momento , perceberemos que a integral relacionada não converge, devido à natureza das funções envolvidas. Isso ocorre porque a função de onda no espaço de momento não está normalizada corretamente ou possui singularidades que dificultam o cálculo da variância. Isso indica que nosso modelo simplificado tem limitações e que, na prática, funções de onda mais realistas precisam ser consideradas para evitar tais problemas.

Resposta

Encontramos que a função de onda no espaço de momento é dada por:
As larguras são e . Quando , e . Usando essas larguras como estimativas para e , verificamos que o princípio da incerteza é satisfeito, já que .

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