Para uma função , que pode ser expandida em uma série de Taylor, demonstre que
(em que é qualquer distância constante). Por essa razão, é chamado de gerador de translações no espaço. Nota: o exponencial de um operador é definido pela expansão em série de potências:
Se satisfaz a equação de Schrödinger (dependente do tempo), demonstre que
(em que é qualquer tempo constante); é chamado de gerador de translações no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
  1. Primeira parte: Mostrar que para uma função que pode ser expandida em uma série de Taylor, vale que
    Aqui, é uma distância constante, e é chamado de gerador de translações no espaço.
  2. Segunda parte: Mostrar que se satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, então
    Onde é um tempo constante, e é o gerador de translações no tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como operadores, séries de Taylor, e a expansão em série de potências para o exponencial de um operador.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte. Queremos mostrar que .
Primeiro, lembre-se que uma série de Taylor para em torno de é dada por:
Isso é basicamente a expansão em série de potências da função em torno de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o operador exponencial . Sabemos que, por definição:
onde é um operador.
No nosso caso, , então:

Passo 4

Para conectar isso com a série de Taylor de , precisamos entender como o operador atua na função .
Sabemos que o operador momento no espaço de posição é dado por:
Então, quando aplicamos em , temos:
E, de forma geral:

Passo 5

Vamos substituir isso na expansão do operador exponencial:
Substituindo , temos:
Simplificando cada termo:
Isso exatamente coincide com a série de Taylor de .

Passo 6

Portanto, mostramos que:
Isso significa que o operador efetua uma translação de para na função , tornando o gerador dessas translações no espaço.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte. Queremos mostrar que:
onde satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, e é o gerador de translações no tempo.

Passo 8

A equação de Schrödinger dependente do tempo é:
Onde é o operador Hamiltoniano, representando a energia total do sistema.

Passo 9

A solução dessa equação pode ser expressa usando o operador de evolução temporal. A ideia é que o estado é obtido aplicando o operador de evolução temporal ao estado :
Para ver isso, vamos expandir o operador exponencial em uma série de potências, assim como fizemos antes:

Passo 10

Aplicando esse operador ao estado , temos:
Isso gera uma série de termos envolvendo derivadas de em relação ao tempo, que de acordo com a equação de Schrödinger, reproduzem a evolução temporal da função de onda.

Passo 11

Assim, concluímos que:
Isso significa que o operador gera a translação no tempo da função de onda , tornando o gerador das translações temporais.

Resposta

Mostramos que:
e
onde e são os geradores das translações no espaço e no tempo, respectivamente.

Exercícios de Livros Relacionados