Para uma função
, que pode ser expandida em uma série de Taylor, demonstre que
(em que
é qualquer distância constante). Por essa razão,
é chamado de gerador de translações no espaço. Nota: o exponencial de um operador é definido pela expansão em série de potências:
Se
satisfaz a equação de Schrödinger (dependente do tempo), demonstre que
(em que
é qualquer tempo constante);
é chamado de gerador de translações no tempo.
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas partes:
-
Primeira parte: Mostrar que para uma função
que pode ser expandida em uma série de Taylor, vale que Aqui,é uma distância constante, e é chamado de gerador de translações no espaço. -
Segunda parte: Mostrar que se
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, então Ondeé um tempo constante, e é o gerador de translações no tempo.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como operadores, séries de Taylor, e a expansão em série de potências para o exponencial de um operador.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte. Queremos mostrar que
.
Primeiro, lembre-se que uma série de Taylor para
em torno de
é dada por:
Isso é basicamente a expansão em série de potências da função
em torno de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o operador exponencial
. Sabemos que, por definição:
onde
é um operador.
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Para conectar isso com a série de Taylor de
, precisamos entender como o operador
atua na função
.
Sabemos que o operador momento
no espaço de posição é dado por:
Então, quando aplicamos
em
, temos:
E, de forma geral:
Passo 5
Vamos substituir isso na expansão do operador exponencial:
Substituindo
, temos:
Simplificando cada termo:
Isso exatamente coincide com a série de Taylor de
.
Passo 6
Portanto, mostramos que:
Isso significa que o operador
efetua uma translação de
para
na função
, tornando
o gerador dessas translações no espaço.
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte. Queremos mostrar que:
onde
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, e
é o gerador de translações no tempo.
Passo 8
A equação de Schrödinger dependente do tempo é:
Onde
é o operador Hamiltoniano, representando a energia total do sistema.
Passo 9
A solução dessa equação pode ser expressa usando o operador de evolução temporal. A ideia é que o estado
é obtido aplicando o operador de evolução temporal ao estado
:
Para ver isso, vamos expandir o operador exponencial em uma série de potências, assim como fizemos antes:
Passo 10
Aplicando esse operador ao estado
, temos:
Isso gera uma série de termos envolvendo derivadas de
em relação ao tempo, que de acordo com a equação de Schrödinger, reproduzem a evolução temporal da função de onda.
Passo 11
Assim, concluímos que:
Isso significa que o operador
gera a translação no tempo da função de onda
, tornando
o gerador das translações temporais.
Resposta
Mostramos que:
e
onde
e
são os geradores das translações no espaço e no tempo, respectivamente.