Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de onda no espaço das posições no tempo :
Nosso objetivo é encontrar a transformada de Fourier dessa função, chamada , e usar isso para calcular o valor esperado do momento , o valor esperado do quadrado do momento e a incerteza no tempo .
Para resolver isso, vamos precisar:
Normalizar a função de onda para encontrar a constante .
Calcular a transformada de Fourier de para obter .
Calcular os valores esperados e usando .
Determinar a incerteza a partir desses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matemáticamente, isso significa:
Substituindo :
Simplificando:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Fourier de para obter . A transformada de Fourier é dada por:
Substituindo :
A integral é uma transformada padrão, e sabemos que:
Então:
Substituindo :
Passo 4
Com encontrada, vamos calcular os valores esperados.
O valor esperado do momento, , é dado por:
Substituindo :
Mas, a função é ímpar, ou seja, . A integral de uma função ímpar sobre todo o domínio é zero. Portanto:
Agora, o valor esperado do quadrado do momento, :
Esta integral é uma forma conhecida e resulta em:
Finalmente, a incerteza no momento, , é dada por:
Resposta
No tempo , temos:
Valor esperado do momento:
Valor esperado do quadrado do momento:
Incerteza no momento:
Física - David J. Griffiths - Mecânica Quântica - 2ª Edição - Capítulo 3.Outros Problemas - Ex. Problema 3.30d