Suponha que
para constantes e .
Use para calcular tempo ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função de onda no espaço das posições no tempo :
Nosso objetivo é encontrar a transformada de Fourier dessa função, chamada , e usar isso para calcular o valor esperado do momento , o valor esperado do quadrado do momento e a incerteza no tempo .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Normalizar a função de onda para encontrar a constante .
  2. Calcular a transformada de Fourier de para obter .
  3. Calcular os valores esperados e usando .
  4. Determinar a incerteza a partir desses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Matemáticamente, isso significa:
Substituindo :
Simplificando:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier de para obter . A transformada de Fourier é dada por:
Substituindo :
A integral é uma transformada padrão, e sabemos que:
Então:
Substituindo :

Passo 4

Com encontrada, vamos calcular os valores esperados.
O valor esperado do momento, , é dado por:
Substituindo :
Mas, a função é ímpar, ou seja, . A integral de uma função ímpar sobre todo o domínio é zero. Portanto:
Agora, o valor esperado do quadrado do momento, :
Esta integral é uma forma conhecida e resulta em:
Finalmente, a incerteza no momento, , é dada por:

Resposta

No tempo , temos:
  • Valor esperado do momento:
  • Valor esperado do quadrado do momento:
  • Incerteza no momento:

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