Escreva a ‘equação de Schrödinger’ dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre e obtenha o resultado. Resposta:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre a Equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de momentum, operadores quânticos e como aplicar a Equação de Schrödinger nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para uma partícula livre, ou seja, sem potenciais externos agindo sobre ela, a energia cinética é a única contribuição para a energia total. No espaço de momento, a função de onda é representada por
, onde
é o momentum e
é o tempo.
Passo 3
A Equação de Schrödinger dependente do tempo geral é dada por:
onde
é o operador Hamiltoniano. Para uma partícula livre, o Hamiltoniano é apenas a energia cinética:
Passo 4
Substituindo o Hamiltoniano na equação de Schrödinger, temos:
Aqui,
é a função de onda no espaço de momento.
Passo 5
Essa é uma equação diferencial simples que pode ser resolvida integrando ambos os lados em relação ao tempo. A solução geral para essa equação é:
onde
é a função de onda no instante inicial
.
Resposta
A solução da Equação de Schrödinger no espaço de momento para uma partícula livre é: