Escreva a ‘equação de Schrödinger’ dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre e obtenha o resultado. Resposta: .

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a Equação de Schrödinger dependente do tempo no espaço de momento para uma partícula livre. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de momentum, operadores quânticos e como aplicar a Equação de Schrödinger nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para uma partícula livre, ou seja, sem potenciais externos agindo sobre ela, a energia cinética é a única contribuição para a energia total. No espaço de momento, a função de onda é representada por , onde é o momentum e é o tempo.

Passo 3

A Equação de Schrödinger dependente do tempo geral é dada por:
onde é o operador Hamiltoniano. Para uma partícula livre, o Hamiltoniano é apenas a energia cinética:

Passo 4

Substituindo o Hamiltoniano na equação de Schrödinger, temos:
Aqui, é a função de onda no espaço de momento.

Passo 5

Essa é uma equação diferencial simples que pode ser resolvida integrando ambos os lados em relação ao tempo. A solução geral para essa equação é:
onde é a função de onda no instante inicial .

Resposta

A solução da Equação de Schrödinger no espaço de momento para uma partícula livre é:

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