Considere uma máquina de Atwood dupla construída da seguinte forma: uma massa está suspensa por um fio que passa sobre uma roldana sem atrito. A outra extremidade desse fio suporta a segunda roldana similar à primeira, sobre a qual passa o segundo fio suportando a massa em uma extremidade e na outra. Usando duas coordenadas generalizadas apropriadas, obtenha a Lagrangiana e use as equações de Lagrange para determinar a aceleração da massa quando o sistema é largado. Explique por que a roldana do topo, embora suporte pesos iguais de cada lado, gira.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Estamos lidando com uma máquina de Atwood dupla, que envolve duas roldanas e três massas: , e . A matéria que vamos usar para resolver esse problema é a Mecânica Lagrangiana, que nos ajuda a encontrar as equações de movimento de sistemas físicos. Para isso, vamos precisar definir coordenadas generalizadas, calcular a energia cinética e potencial do sistema, montar a Lagrangiana e aplicar as equações de Lagrange para encontrar a aceleração da massa .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher as coordenadas generalizadas que descrevem o movimento do sistema. Vamos chamar da posição vertical da massa e da posição vertical da massa . Como a massa está conectada diretamente à roldana inferior, seu movimento será complementado por .

Passo 3

Agora, vamos calcular as energias cinética ( ) e potencial ( ) do sistema.
Energia Cinética ( ):
  • A massa está se movendo com velocidade , então sua energia cinética é .
  • A massa está se movendo com velocidade , então sua energia cinética é .
  • A massa está se movendo com velocidade , então sua energia cinética é .
Somando tudo:
Energia Potencial ( ):
  • A energia potencial da massa é .
  • A energia potencial da massa é .
  • A energia potencial da massa é .
Somando tudo:

Passo 4

Com as energias cinética e potencial, agora montamos a Lagrangiana ( ):

Passo 5

Agora, aplicamos as Equações de Lagrange, que são dadas por:
onde são as coordenadas generalizadas e .
Para :
Então, a equação para é:
Para :
Então, a equação para é:

Passo 6

Observamos que e . Isso significa que ambas as acelerações são iguais a . Portanto, a aceleração da massa é para baixo.

Passo 7

Apesar de a roldana superior suportar pesos iguais de cada lado ( e a combinação das outras massas), ela gira porque há diferenças nas acelerações e forças internas. A roldana está transmitindo a tensão do fio, causando rotação mesmo com pesos iguais, devido à dinâmica do sistema.

Resposta

A aceleração da massa quando o sistema é largado é igual à aceleração da gravidade, .

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