Considere uma máquina de Atwood dupla construída da seguinte forma: uma massa
está suspensa por um fio que passa sobre uma roldana sem atrito. A outra extremidade desse fio suporta a segunda roldana similar à primeira, sobre a qual passa o segundo fio suportando a massa
em uma extremidade e
na outra. Usando duas coordenadas generalizadas apropriadas, obtenha a Lagrangiana e use as equações de Lagrange para determinar a aceleração da massa
quando o sistema é largado. Explique por que a roldana do topo, embora suporte pesos iguais de cada lado, gira.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Estamos lidando com uma máquina de Atwood dupla, que envolve duas roldanas e três massas:
,
e
. A matéria que vamos usar para resolver esse problema é a Mecânica Lagrangiana, que nos ajuda a encontrar as equações de movimento de sistemas físicos. Para isso, vamos precisar definir coordenadas generalizadas, calcular a energia cinética e potencial do sistema, montar a Lagrangiana e aplicar as equações de Lagrange para encontrar a aceleração da massa
.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher as coordenadas generalizadas que descrevem o movimento do sistema. Vamos chamar
da posição vertical da massa
e
da posição vertical da massa
. Como a massa
está conectada diretamente à roldana inferior, seu movimento será complementado por
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as energias cinética (
) e potencial (
) do sistema.
Energia Cinética (
):
- A massa
está se movendo com velocidade , então sua energia cinética é . - A massa
está se movendo com velocidade , então sua energia cinética é . - A massa
está se movendo com velocidade , então sua energia cinética é .
Somando tudo:
Energia Potencial (
):
- A energia potencial da massa
é . - A energia potencial da massa
é . - A energia potencial da massa
é .
Somando tudo:
Passo 4
Com as energias cinética e potencial, agora montamos a Lagrangiana (
):
Passo 5
Agora, aplicamos as Equações de Lagrange, que são dadas por:
onde
são as coordenadas generalizadas
e
.
Para
:
Então, a equação para
é:
Para
:
Então, a equação para
é:
Passo 6
Observamos que
e
. Isso significa que ambas as acelerações são iguais a
. Portanto, a aceleração da massa
é
para baixo.
Passo 7
Apesar de a roldana superior suportar pesos iguais de cada lado (
e a combinação das outras massas), ela gira porque há diferenças nas acelerações e forças internas. A roldana está transmitindo a tensão do fio, causando rotação mesmo com pesos iguais, devido à dinâmica do sistema.
Resposta
A aceleração da massa
quando o sistema é largado é igual à aceleração da gravidade,
.