Um pêndulo é feito a partir de uma mola de massa desprezível (constante da força e comprimento natural ) que está suspensa em uma extremidade fixa e tem uma massa presa a sua outra extremidade. A mola pode distender e comprimir, mas não flambar, e o sistema como um todo está confinado a um único plano vertical. Obtenha a Lagrangiana para o pêndulo, usando como coordenadas generalizadas o ângulo usual e o comprimento da mola.

Passo 1

Então, hoje a gente tem um exercício de mecânica clássica, especificamente usando a formalismo da Lagrangiana. O objetivo é encontrar a Lagrangiana de um pêndulo que é feito com uma mola. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são coordenadas generalizadas, que nesse caso são o ângulo do pêndulo e o comprimento da mola. Também vamos precisar calcular as energias cinética e potencial do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o sistema para visualizar melhor. Temos uma mola fixa em um ponto e uma massa presa na outra extremidade. A mola pode se estender ou comprimir, mas o movimento está restrito a um plano vertical. As coordenadas generalizadas que vamos usar são:
  • : o ângulo que a mola faz com a vertical.
  • : o comprimento atual da mola.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética do sistema. A energia cinética é a energia associada ao movimento da massa. Como a massa pode se mover tanto na direção circular quanto na radial, a energia cinética total será a soma das energias cinéticas dessas duas direções.
A velocidade da massa pode ser decomposta em duas componentes:
  • Velocidade angular:
  • Velocidade radial:
Então, a energia cinética fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial do sistema. Há duas contribuições para a energia potencial:
  1. Energia potencial elástica da mola, que depende de quanto a mola está esticada ou comprimida.
  2. Energia potencial gravitacional devido à altura da massa.
A energia potencial elástica é dada por:
á
onde é a constante da mola e é o comprimento natural da mola.
A energia potencial gravitacional é:
onde é a aceleração da gravidade.
Então, a energia potencial total é a soma das duas:

Passo 5

Com as expressões para a energia cinética e a energia potencial , podemos montar a Lagrangiana , que é definida como:
Substituindo as expressões que encontramos:

Resposta

A Lagrangiana do pêndulo é dada por:

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