Um pêndulo é feito a partir de uma mola de massa desprezível (constante da força
e comprimento natural
) que está suspensa em uma extremidade fixa
e tem uma massa
presa a sua outra extremidade. A mola pode distender e comprimir, mas não flambar, e o sistema como um todo está confinado a um único plano vertical. Obtenha a Lagrangiana para o pêndulo, usando como coordenadas generalizadas o ângulo usual
e o comprimento
da mola.
Passo 1
Então, hoje a gente tem um exercício de mecânica clássica, especificamente usando a formalismo da Lagrangiana. O objetivo é encontrar a Lagrangiana de um pêndulo que é feito com uma mola. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são coordenadas generalizadas, que nesse caso são o ângulo
do pêndulo e o comprimento
da mola. Também vamos precisar calcular as energias cinética e potencial do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o sistema para visualizar melhor. Temos uma mola fixa em um ponto
e uma massa
presa na outra extremidade. A mola pode se estender ou comprimir, mas o movimento está restrito a um plano vertical. As coordenadas generalizadas que vamos usar são:
-
: o ângulo que a mola faz com a vertical. -
: o comprimento atual da mola.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética
do sistema. A energia cinética é a energia associada ao movimento da massa. Como a massa pode se mover tanto na direção circular quanto na radial, a energia cinética total será a soma das energias cinéticas dessas duas direções.
A velocidade da massa pode ser decomposta em duas componentes:
- Velocidade angular:
- Velocidade radial:
Então, a energia cinética
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial
do sistema. Há duas contribuições para a energia potencial:
- Energia potencial elástica da mola, que depende de quanto a mola está esticada ou comprimida.
- Energia potencial gravitacional devido à altura da massa.
A energia potencial elástica é dada por:
onde
é a constante da mola e
é o comprimento natural da mola.
A energia potencial gravitacional é:
onde
é a aceleração da gravidade.
Então, a energia potencial total
é a soma das duas:
Passo 5
Com as expressões para a energia cinética
e a energia potencial
, podemos montar a Lagrangiana
, que é definida como:
Substituindo as expressões que encontramos:
Resposta
A Lagrangiana do pêndulo é dada por: