Considere uma massa compelida a mover-se em uma reta vertical sobre a influência da gravidade. Usando a coordenada medida verticalmente para baixo a partir de uma origem conveniente, obtenha a Lagrangiana e determine o momento generalizado . Determine a Hamiltoniana como uma função de e , e obtenha as equações de movimento de
Hamilton. (Não espero que com um sistema simples você aprenda alguma coisa nova usando o formalismo Hamiltoniano, mas assegure-se de que as equações de movimento façam sentido.)

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana. A gente tem uma massa que está se movendo verticalmente sob a influência da gravidade. A coordenada é medida para baixo a partir de um ponto de referência . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial, Lagrangiana , momento generalizado , e Hamiltoniana .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Aqui, vamos calcular e para a massa .

Passo 3

A energia cinética de um objeto que se move é dada por:
onde é a velocidade da massa.

Passo 4

A energia potencial devido à gravidade é:
onde é a aceleração da gravidade e é a posição vertical.

Passo 5

Agora, substituímos e na expressão da Lagrangiana:

Passo 6

O próximo passo é determinar o momento generalizado , que é a derivada parcial da Lagrangiana em relação à velocidade :
Isso significa que o momento é igual à massa vezes a velocidade.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a Hamiltoniana , que é definida como:
Substituindo e , temos:

Passo 8

Para expressar em termos de e , resolvemos para :
Substituindo na expressão da Hamiltoniana:

Passo 9

Finalmente, vamos obter as equações de movimento de Hamilton. Elas são dadas por:
Calculando as derivadas, temos:
Essas equações descrevem como a posição e o momento evoluem no tempo.

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é:
As equações de movimento de Hamilton são:

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