Considere uma massa
compelida a mover-se em uma reta vertical sobre a influência da gravidade. Usando a coordenada
medida verticalmente para baixo a partir de uma origem
conveniente, obtenha a Lagrangiana
e determine o momento generalizado
. Determine a Hamiltoniana
como uma função de
e
, e obtenha as equações de movimento de
Hamilton. (Não espero que com um sistema simples você aprenda alguma coisa nova usando o formalismo Hamiltoniano, mas assegure-se de que as equações de movimento façam sentido.)
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana. A gente tem uma massa
que está se movendo verticalmente sob a influência da gravidade. A coordenada
é medida para baixo a partir de um ponto de referência
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia cinética, energia potencial, Lagrangiana
, momento generalizado
, e Hamiltoniana
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lagrangiana
é definida como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Aqui, vamos calcular
e
para a massa
.
Passo 3
A energia cinética
de um objeto que se move é dada por:
onde
é a velocidade da massa.
Passo 4
A energia potencial
devido à gravidade é:
onde
é a aceleração da gravidade e
é a posição vertical.
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão da Lagrangiana:
Passo 6
O próximo passo é determinar o momento generalizado
, que é a derivada parcial da Lagrangiana em relação à velocidade
:
Isso significa que o momento
é igual à massa vezes a velocidade.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a Hamiltoniana
, que é definida como:
Substituindo
e
, temos:
Passo 8
Para expressar
em termos de
e
, resolvemos
para
:
Substituindo na expressão da Hamiltoniana:
Passo 9
Finalmente, vamos obter as equações de movimento de Hamilton. Elas são dadas por:
Calculando as derivadas, temos:
Essas equações descrevem como a posição e o momento evoluem no tempo.
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é:
As equações de movimento de Hamilton são: