No formalismo Lagrangiano, a coordenada
é ignorável se
, isto é, se
é independente de
. Isso garante que o momento
é constante. No formalismo Hamiltoniano, dizemos que
é ignorável se
é independente de
, e isso também garante que
é constante. Essas duas condições devem ser a mesma, visto que o resultado "
const" é o mesmo em qualquer caso. Mostre diretamente que isso é assim, considerando: (a) Para um sistema com um grau de liberdade, mostre que
, iniciando a partir da Expressão (13.14) para a Hamiltoniana. Isso estabelece que
se e somente se
. (b) Para um sistema com
graus de liberdade, mostre que
iniciando a partir da Expressão (13.24).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente está trabalhando com os formais Lagrangiano e Hamiltoniano, que são jeitos de descrever sistemas físicos usando coordenadas e momentos. A pergunta quer que a gente mostre que, quando uma coordenada
não aparece na função
(Lagrangiana) ou na
(Hamiltoniana), o momento correspondente
é constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como as derivadas parciais de
e
em relação a
estão relacionadas. Vamos resolver isso em duas partes: para um sistema com um grau de liberdade e depois para um sistema com
graus de liberdade.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a), que é para um sistema com um grau de liberdade. Aqui, temos que mostrar que:
Para isso, vamos usar a expressão da Hamiltoniana, que geralmente é dada por:
Onde
é o momento conjugado definido por:
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
e ver como isso se relaciona com a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
. Usando a expressão da Hamiltoniana:
Agora, como
, a derivada de
em relação a
será:
Mas, em geral,
não depende explicitamente de
, então
. Além disso, se
não depende explicitamente de
, então
. Portanto:
Então, a derivada da Hamiltoniana fica:
Isso mostra que:
Passo 4
Agora que estabelecemos essa relação, se a coordenada
é ignorável no formalismo Lagrangiano, ou seja,
, então:
Isso significa que
também é independente de
, tornando
uma coordenada ignorável no formalismo Hamiltoniano também. Portanto, a condição de ignorabilidade é a mesma nos dois formalismos para um sistema com um grau de liberdade.
Passo 5
Vamos passar para a parte (b), que é para um sistema com
graus de liberdade. Aqui, queremos mostrar que:
Começamos com a expressão geral para a Hamiltoniana para
graus de liberdade, que é:
Onde cada
é definido por:
Nosso objetivo é calcular a derivada parcial de
em relação a uma coordenada
específica.
Passo 6
Calculando
:
Assumindo que as velocidades
não dependem explicitamente das coordenadas
, temos
. Além disso, se
não depende explicitamente de
, então
para todos
. Assim:
Isso generaliza o que vimos na parte (a) para qualquer número de graus de liberdade.
Resposta
Mostramos que, tanto para um sistema com um grau de liberdade quanto para sistemas com
graus de liberdade, a derivada parcial da Hamiltoniana em relação à coordenada
é igual ao negativo da derivada parcial da Lagrangiana em relação a
. Ou seja:
Isso estabelece que
ser independente de
é equivalente a
ser independente de
, garantindo que o momento
seja constante nos dois formalismos.