Considere uma massa movendo-se em duas dimensões, sujeita a uma única força que independente de e de . Mostre que, se você usar coordenadas retangulares com qualquer um dos eixos na direção de , então nenhuma das coordenadas será ignorável (Moral: escolha as coordenadas generalizadas cuidadosamente!)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos uma massa que se move em duas dimensões e sofre uma única força que não depende da posição nem do tempo . O objetivo é mostrar que, se a gente escolher coordenadas retangulares com qualquer um dos eixos na direção da força , nenhuma das coordenadas será ignorável. Ou seja, a gente não consegue simplificar a análise eliminando alguma coordenada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre coordenadas generalizadas e o que significa uma coordenada ser ignorável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma coordenada ser ignorável. Em mecânica, uma coordenada é chamada de ignorável se a energia associada a ela é conservada, ou seja, se a força não depende dessa coordenada. Quando isso acontece, a quantidade de movimento associada a essa coordenada é constante ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a força . A questão diz que não depende de nem de . Isso significa que a força é constante em módulo e direção. Em coordenadas retangulares , se a gente alinha, por exemplo, o eixo na direção de , a força terá apenas uma componente em e nenhuma em .

Passo 4

Vamos escrever as componentes da força. Se está alinhada com o eixo , então . O próximo passo é analisar as equações de movimento para cada coordenada.

Passo 5

Para a coordenada , usando a segunda lei de Newton, temos:
E para a coordenada :
Isso mostra que a aceleração em é constante devido à força , e não há aceleração em .

Passo 6

Agora, vamos ver se alguma coordenada pode ser ignorada. Para uma coordenada ser ignorável, a força não deve depender dela. Mas aqui, mesmo que a força não dependa de , a coordenada não é ignorável porque a massa ainda pode se mover nessa direção, embora sem aceleração. Porém, a energia total do sistema ainda depende de ambas as coordenadas e , já que a posição em contribui para a energia total.

Passo 7

Além disso, como a força está em , a coordenada também não é ignorável, pois a força afeta diretamente o movimento nessa direção. Não há uma coordenada cujas dinâmica seja completamente independente das outras ou conservada de forma que possa ser ignorada na análise.

Resposta

Portanto, ao escolher coordenadas retangulares com qualquer um dos eixos na direção da força , nenhuma das coordenadas será ignorável. Isso reforça a moral de que é importante escolher as coordenadas generalizadas cuidadosamente para simplificar a análise do sistema.

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