Considere uma partícula de massa movendo-se em duas dimensões, sujeita à força , onde e são constantes positivas. Obtenha a Hamiltoniana e as equações de Hamilton, usando e como coordenadas generalizadas. Resolva as equações e descreva o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar o movimento de uma partícula de massa que se move em duas dimensões sob a ação da força . Vamos utilizar a teoria Hamiltoniana, que é uma forma poderosa de descrever sistemas físicos. Precisamos encontrar a Hamiltoniana do sistema e as equações de Hamilton usando e como coordenadas generalizadas. Para isso, vamos precisar das definições de energia cinética, energia potencial e das próprias equações de Hamilton.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as energias cinética e potencial do sistema. A energia cinética de uma partícula em duas dimensões é dada por:
onde e são as velocidades nas direções e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos determinar a energia potencial . A força está relacionada à energia potencial pela relação . Então, temos:
Comparando os componentes, obtemos:
Integrando:
Podemos ignorar a constante , já que ela não afeta as equações de movimento.

Passo 4

A Hamiltoniana é dada por:
No formalismo de Hamilton, é mais comum expressar em termos das coordenadas generalizadas e dos momentos conjugados. Vamos encontrar os momentos conjugados e :
onde é o lagrangiano.

Passo 5

Substituindo e em termos de e :
Agora, exprimimos a Hamiltoniana em função de , , e :

Passo 6

Vamos agora escrever as equações de Hamilton, que são:
onde são as coordenadas generalizadas ( e ), e são os momentos conjugados.

Passo 7

Aplicando as equações de Hamilton para e :
Para :
Para :

Passo 8

Vamos agora resolver essas equações diferenciais. Começaremos por :
Integrando :
Onde e são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.

Passo 9

Agora, para as equações em :
Substituindo na equação de :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A movimentação da partícula é uma combinação de oscilações harmônicas na direção e um movimento uniformemente acelerado na direção . Especificamente, oscila com frequência enquanto descreve uma parábola devido à aceleração constante .

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