Considere uma partícula de massa
movendo-se em duas dimensões, sujeita à força
, onde
e
são constantes positivas. Obtenha a Hamiltoniana e as equações de Hamilton, usando
e
como coordenadas generalizadas. Resolva as equações e descreva o movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para analisar o movimento de uma partícula de massa
que se move em duas dimensões sob a ação da força
. Vamos utilizar a teoria Hamiltoniana, que é uma forma poderosa de descrever sistemas físicos. Precisamos encontrar a Hamiltoniana do sistema e as equações de Hamilton usando
e
como coordenadas generalizadas. Para isso, vamos precisar das definições de energia cinética, energia potencial e das próprias equações de Hamilton.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as energias cinética e potencial do sistema. A energia cinética
de uma partícula em duas dimensões é dada por:
onde
e
são as velocidades nas direções
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos determinar a energia potencial
. A força
está relacionada à energia potencial pela relação
. Então, temos:
Comparando os componentes, obtemos:
Integrando:
Podemos ignorar a constante
, já que ela não afeta as equações de movimento.
Passo 4
A Hamiltoniana
é dada por:
No formalismo de Hamilton, é mais comum expressar
em termos das coordenadas generalizadas e dos momentos conjugados. Vamos encontrar os momentos conjugados
e
:
onde
é o lagrangiano.
Passo 5
Substituindo
e
em termos de
e
:
Agora, exprimimos a Hamiltoniana em função de
,
,
e
:
Passo 6
Vamos agora escrever as equações de Hamilton, que são:
onde
são as coordenadas generalizadas (
e
), e
são os momentos conjugados.
Passo 7
Aplicando as equações de Hamilton para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 8
Vamos agora resolver essas equações diferenciais. Começaremos por
:
Integrando
:
Onde
e
são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais.
Passo 9
Agora, para as equações em
:
Substituindo
na equação de
:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem cuja solução é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A movimentação da partícula é uma combinação de oscilações harmônicas na direção
e um movimento uniformemente acelerado na direção
. Especificamente,
oscila com frequência
enquanto
descreve uma parábola devido à aceleração constante
.