Considere uma massa
movendo-se em duas dimensões, sujeita a uma única força que independente de
e de
. (a) Determine a energia potencial
e a Hamiltoniana
. (b) Mostre que, se você usar coordenadas retangulares
com qualquer um dos eixos na direção de
, então nenhuma das coordenadas será ignorável (Moral: escolha as coordenadas generalizadas cuidadosamente!)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos uma massa
se movimentando em duas dimensões, sob a ação de uma força
que não depende da posição
nem do tempo
. Precisamos resolver duas partes:
(a) Determinar a energia potencial
e a Hamiltoniana
.
(b) Mostrar que, utilizando coordenadas retangulares
com um dos eixos na direção de
, nenhuma das coordenadas será ignorável.
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente de energia potencial, Hamiltoniana e coordenadas ignorem, além de entender como a escolha das coordenadas pode influenciar a simplificação do problema.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Primeiro, precisamos determinar a energia potencial
. Sabemos que a força
está relacionada com a energia potencial pela relação:
Onde
é o gradiente da energia potencial. Como a força é constante (independente de
e
), podemos integrar essa expressão para encontrar
.
Passo 3
Integrando
, temos:
Aqui,
é uma constante de integração que podemos considerar zero sem perda de generalidade. Então, a energia potencial é:
Passo 4
Agora, vamos determinar a Hamiltoniana
. A Hamiltoniana é a soma da energia cinética
e da energia potencial
. Para uma massa
em duas dimensões, a energia cinética é:
Portanto, a Hamiltoniana será:
Passo 5
Passando para a parte (b), precisamos mostrar que, usando coordenadas retangulares
com um dos eixos na direção de
, nenhuma das coordenadas é ignorável. Uma coordenada é ignorável (ou cíclica) se a Hamiltoniana não depende dela explicitamente, o que permite simplificações nas equações de movimento.
Passo 6
Vamos assumir que a força
está alinhada, por exemplo, com o eixo
. Então, a energia potencial fica:
Substituindo na Hamiltoniana:
Passo 7
Observando a Hamiltoniana, vemos que ela depende de
explicitamente através do termo
, e também de
através do termo cinético
. Como a Hamiltoniana depende de ambas as coordenadas
e
, nenhuma das coordenadas é ignorável.
Resposta
(a) A energia potencial é
e a Hamiltoniana é
.
(b) Usando coordenadas retangulares alinhadas com
, a Hamiltoniana depende de ambas as coordenadas
e
, de modo que nenhuma delas é ignorável.