Considere uma massa movendo-se em duas dimensões, sujeita a uma única força que independente de e de . (a) Determine a energia potencial e a Hamiltoniana . (b) Mostre que, se você usar coordenadas retangulares com qualquer um dos eixos na direção de , então nenhuma das coordenadas será ignorável (Moral: escolha as coordenadas generalizadas cuidadosamente!)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos uma massa se movimentando em duas dimensões, sob a ação de uma força que não depende da posição nem do tempo . Precisamos resolver duas partes:
(a) Determinar a energia potencial e a Hamiltoniana .
(b) Mostrar que, utilizando coordenadas retangulares com um dos eixos na direção de , nenhuma das coordenadas será ignorável.
Para isso, vamos usar conceitos de mecânica clássica, especificamente de energia potencial, Hamiltoniana e coordenadas ignorem, além de entender como a escolha das coordenadas pode influenciar a simplificação do problema.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a). Primeiro, precisamos determinar a energia potencial . Sabemos que a força está relacionada com a energia potencial pela relação:
Onde é o gradiente da energia potencial. Como a força é constante (independente de e ), podemos integrar essa expressão para encontrar .

Passo 3

Integrando , temos:
Aqui, é uma constante de integração que podemos considerar zero sem perda de generalidade. Então, a energia potencial é:

Passo 4

Agora, vamos determinar a Hamiltoniana . A Hamiltoniana é a soma da energia cinética e da energia potencial . Para uma massa em duas dimensões, a energia cinética é:
Portanto, a Hamiltoniana será:

Passo 5

Passando para a parte (b), precisamos mostrar que, usando coordenadas retangulares com um dos eixos na direção de , nenhuma das coordenadas é ignorável. Uma coordenada é ignorável (ou cíclica) se a Hamiltoniana não depende dela explicitamente, o que permite simplificações nas equações de movimento.

Passo 6

Vamos assumir que a força está alinhada, por exemplo, com o eixo . Então, a energia potencial fica:
Substituindo na Hamiltoniana:

Passo 7

Observando a Hamiltoniana, vemos que ela depende de explicitamente através do termo , e também de através do termo cinético . Como a Hamiltoniana depende de ambas as coordenadas e , nenhuma das coordenadas é ignorável.

Resposta

(a) A energia potencial é e a Hamiltoniana é .
(b) Usando coordenadas retangulares alinhadas com , a Hamiltoniana depende de ambas as coordenadas e , de modo que nenhuma delas é ignorável.

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