Duas massas
e
estão presas por uma mola de massa desprezível (constante da força
e comprimento natural
) e estão confinadas ao movimento em um plano horizontal sem atrito, com CM e posições relativas
e
como definidas na Seção 8.2. (a) Obtenha a Hamiltoniana
usando como coordenadas generalizadas
, onde
são as componentes retangulares de
e
são as coordenadas polares de
. Quais coordenadas são ignoráveis e quais não são? Explique. (b) Obtenha as oito equações de movimento de Hamilton. © Resolva as equações
para o caso especial em que
e descreva o movimento. (d) Descreva o movimento para o caso em que
e explique fisicamente por que a equação
é mais difícil de ser resolvida neste caso.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas massas,
e
, conectadas por uma mola com constante
e comprimento natural
. Essas massas se movem num plano horizontal sem atrito. A questão está relacionada ao conteúdo de Mecânica Clássica, especificamente usando a formulação de Hamilton. Para resolver, vamos precisar entender coordenadas generalizadas, a Hamiltoniana e as equações de movimento de Hamilton. Também precisaremos identificar quais coordenadas são ignoráveis.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas generalizadas
. Aqui,
são as componentes retangulares do centro de massa
, e
são as coordenadas polares da posição relativa
entre as massas. A Hamiltoniana
é uma função que representa a energia total do sistema em termos dessas coordenadas e seus momentos conjugados.
Passo 3
Para construir a Hamiltoniana, precisamos expressar a energia cinética e a energia potencial do sistema. A energia cinética total
é a soma das energias cinéticas das duas massas. Em coordenadas polar, a energia cinética pode ser escrita como:
onde
é a massa reduzida.
Passo 4
A energia potencial
do sistema é devido à mola, que depende da deformação
:
Passo 5
Agora, a Hamiltoniana
é dada por
. Substituindo as expressões de
e
:
Passo 6
Para identificar as coordenadas ignoráveis, observamos que
e
não aparecem na Hamiltoniana, apenas suas derivadas no termo cinético. Isso significa que as coordenadas
e
são ignoráveis, ou seja, seus momentos conjugados são conservados.
Passo 7
Passando para a parte (b), queremos obter as oito equações de movimento de Hamilton. As equações de Hamilton são dadas por:
onde
são as coordenadas generalizadas e
são os momentos conjugados.
Passo 8
Aplicando isso às nossas coordenadas
, teremos oito equações: duas para
, duas para
, duas para
e duas para
.
Passo 9
Na parte ©, precisamos resolver as equações para o caso especial onde
. Nesse caso, não há momento angular, e a equação para
se simplifica, permitindo-nos descrever o movimento das massas.
Passo 10
Finalmente, na parte (d), consideramos o caso onde
. Aqui, o momento angular não é zero, o que complica a equação para
devido ao termo rotacional
. Isso torna a solução mais difícil, pois introduz acoplamentos entre as coordenadas.
Resposta
A Hamiltoniana do sistema é:
As coordenadas ignoráveis são
e
, pois não aparecem na Hamiltoniana diretamente. As oito equações de movimento de Hamilton foram estabelecidas com base nas coordenadas generalizadas. No caso
, o movimento é simplificado sem momento angular. Já para
, a presença do momento angular complica a equação de
, tornando a solução mais complexa devido aos acoplamentos introduzidos.