Duas massas e estão presas por uma mola de massa desprezível (constante da força e comprimento natural ) e estão confinadas ao movimento em um plano horizontal sem atrito, com CM e posições relativas e como definidas na Seção 8.2. (a) Obtenha a Hamiltoniana usando como coordenadas generalizadas , onde são as componentes retangulares de e são as coordenadas polares de . Quais coordenadas são ignoráveis e quais não são? Explique. (b) Obtenha as oito equações de movimento de Hamilton. © Resolva as equações para o caso especial em que e descreva o movimento. (d) Descreva o movimento para o caso em que e explique fisicamente por que a equação é mais difícil de ser resolvida neste caso.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas massas, e , conectadas por uma mola com constante e comprimento natural . Essas massas se movem num plano horizontal sem atrito. A questão está relacionada ao conteúdo de Mecânica Clássica, especificamente usando a formulação de Hamilton. Para resolver, vamos precisar entender coordenadas generalizadas, a Hamiltoniana e as equações de movimento de Hamilton. Também precisaremos identificar quais coordenadas são ignoráveis.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas generalizadas . Aqui, são as componentes retangulares do centro de massa , e são as coordenadas polares da posição relativa entre as massas. A Hamiltoniana é uma função que representa a energia total do sistema em termos dessas coordenadas e seus momentos conjugados.

Passo 3

Para construir a Hamiltoniana, precisamos expressar a energia cinética e a energia potencial do sistema. A energia cinética total é a soma das energias cinéticas das duas massas. Em coordenadas polar, a energia cinética pode ser escrita como:
onde é a massa reduzida.

Passo 4

A energia potencial do sistema é devido à mola, que depende da deformação :

Passo 5

Agora, a Hamiltoniana é dada por . Substituindo as expressões de e :

Passo 6

Para identificar as coordenadas ignoráveis, observamos que e não aparecem na Hamiltoniana, apenas suas derivadas no termo cinético. Isso significa que as coordenadas e são ignoráveis, ou seja, seus momentos conjugados são conservados.

Passo 7

Passando para a parte (b), queremos obter as oito equações de movimento de Hamilton. As equações de Hamilton são dadas por:
onde são as coordenadas generalizadas e são os momentos conjugados.

Passo 8

Aplicando isso às nossas coordenadas , teremos oito equações: duas para , duas para , duas para e duas para .

Passo 9

Na parte ©, precisamos resolver as equações para o caso especial onde . Nesse caso, não há momento angular, e a equação para se simplifica, permitindo-nos descrever o movimento das massas.

Passo 10

Finalmente, na parte (d), consideramos o caso onde . Aqui, o momento angular não é zero, o que complica a equação para devido ao termo rotacional . Isso torna a solução mais difícil, pois introduz acoplamentos entre as coordenadas.

Resposta

A Hamiltoniana do sistema é:
As coordenadas ignoráveis são e , pois não aparecem na Hamiltoniana diretamente. As oito equações de movimento de Hamilton foram estabelecidas com base nas coordenadas generalizadas. No caso , o movimento é simplificado sem momento angular. Já para , a presença do momento angular complica a equação de , tornando a solução mais complexa devido aos acoplamentos introduzidos.

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