Uma massa está sob um campo gravitacional uniforme, o qual exerce a força usual verticalmente para baixo, mas com variando no tempo, . Escolhendo os eixos com medido verticalmente para cima e definindo como usualmente, mostre que como conhecido, mas, derivando com respeito a , mostre que não é conservada.

Passo 1

Então, a gente tem uma massa que está sob a ação de um campo gravitacional que não é constante, ou seja, a aceleração da gravidade depende do tempo ( ). A força gravitacional é dada por e aponta para baixo. Vamos usar conceitos de energia potencial e conservação de energia para mostrar que a energia total não é conservada quando varia com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a força está relacionada ao gradiente da energia potencial e como derivar a energia total em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que . A energia potencial está definida como , onde é a posição vertical para cima. O gradiente de em coordenadas unidimensionais (apenas ) é:
Então, a força gravitacional é:
Isso confirma que .

Passo 3

Agora, vamos derivar a energia total em relação ao tempo . A energia total é dada por:
Derivando em relação ao tempo:
Primeiro, a derivada da energia cinética:
Onde é a aceleração.
Agora, a derivada da energia potencial:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, juntamos as duas partes:
Sabemos que a força , então :
Simplificando:

Passo 5

A derivada da energia total é . A menos que (ou seja, é constante), essa derivada não é zero. Portanto, a energia total não é conservada quando varia com o tempo.

Resposta

A energia total não é conservada quando a aceleração da gravidade varia com o tempo, pois sua derivada em relação ao tempo é .

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