Uma massa
está sob um campo gravitacional uniforme, o qual exerce a força usual
verticalmente para baixo, mas com
variando no tempo,
. Escolhendo os eixos com
medido verticalmente para cima e definindo
como usualmente, mostre que
como conhecido, mas, derivando
com respeito a
, mostre que
não é conservada.
Passo 1
Então, a gente tem uma massa
que está sob a ação de um campo gravitacional que não é constante, ou seja, a aceleração da gravidade
depende do tempo (
). A força gravitacional é dada por
e aponta para baixo. Vamos usar conceitos de energia potencial e conservação de energia para mostrar que a energia total
não é conservada quando
varia com o tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a força está relacionada ao gradiente da energia potencial e como derivar a energia total em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
. A energia potencial
está definida como
, onde
é a posição vertical para cima. O gradiente de
em coordenadas unidimensionais (apenas
) é:
Então, a força gravitacional é:
Isso confirma que
.
Passo 3
Agora, vamos derivar a energia total
em relação ao tempo
. A energia total é dada por:
Derivando
em relação ao tempo:
Primeiro, a derivada da energia cinética:
Onde
é a aceleração.
Agora, a derivada da energia potencial:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, juntamos as duas partes:
Sabemos que a força
, então
:
Simplificando:
Passo 5
A derivada da energia total é
. A menos que
(ou seja,
é constante), essa derivada não é zero. Portanto, a energia total
não é conservada quando
varia com o tempo.
Resposta
A energia total
não é conservada quando a aceleração da gravidade
varia com o tempo, pois sua derivada em relação ao tempo é
.