Considere um momento de dipolo colocado em um campo eletrostático externo . Demonstre que:
a) A força que atua no mesmo vale:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para demonstrarmos que a força que atua em um dipolo elétrico colocado em um campo eletrostático externo é dada por . Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente sobre dipolos e campos elétricos, para chegar nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um dipolo elétrico. Um dipolo é composto por duas cargas elétricas de mesma magnitude, mas sinais opostos, separadas por uma distância pequena. A diferença de potencial entre elas cria um momento de dipolo , que é dado por:
onde é a magnitude das cargas e é o vetor que vai de uma carga para a outra.

Passo 3

Agora, vamos considerar um campo elétrico externo onde o dipolo está inserido. Esse campo pode variar no espaço, ou seja, a intensidade e a direção do campo podem mudar de um ponto para outro.

Passo 4

A força total que atua sobre o dipolo é a soma das forças sobre cada uma das cargas do dipolo. Se temos uma carga em uma posição e em outra, as forças são:
onde e são as posições das cargas positiva e negativa, respectivamente.

Passo 5

A força total no dipolo é a soma dessas forças:

Passo 6

Assumindo que a distância entre as cargas é pequena, podemos expandir o campo elétrico em torno de usando a expansão de Taylor:
onde é o vetor separador das cargas.

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão da força total:

Passo 8

Lembrando que o momento de dipolo é , podemos substituir na equação da força:

Resposta

Portanto, demonstramos que a força que atua sobre o dipolo elétrico é dada por:

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