Demonstre que:
f)
f)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o gradiente do vetor posição, representado por
, é igual à matriz identidade (
). Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente à operação de gradiente aplicada a vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição
. Em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
onde
,
,
são as coordenadas espaciais e
,
,
são os vetores unitários nas direções dos eixos
,
,
respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente do vetor posição. O gradiente de um vetor é uma matriz cujos elementos são as derivadas parciais das componentes do vetor em relação às coordenadas espaciais. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
, , -
, , -
, ,
Passo 5
Substituindo essas derivadas na matriz, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Ou seja, o gradiente do vetor posição é igual à matriz identidade.