Demonstre que:
f)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para demonstrar que o gradiente do vetor posição, representado por , é igual à matriz identidade ( ). Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente à operação de gradiente aplicada a vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor posição . Em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
onde , , são as coordenadas espaciais e , , são os vetores unitários nas direções dos eixos , , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente do vetor posição. O gradiente de um vetor é uma matriz cujos elementos são as derivadas parciais das componentes do vetor em relação às coordenadas espaciais. Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  • , ,
  • , ,
  • , ,

Passo 5

Substituindo essas derivadas na matriz, temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:
Ou seja, o gradiente do vetor posição é igual à matriz identidade.

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