Demonstre que:
h)
.
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão envolvendo derivadas de uma função que depende de
, onde
é a distância no espaço tridimensional. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, mais especificamente derivadas de funções vetoriais e distribuições (por causa do delta de Dirac). Vamos precisar entender como calcular derivadas de vetores e como a função
se comporta quando derivada duas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o operador nabla, que usamos para derivar funções vetoriais. Quando a gente escreve
, estamos falando da derivada segunda de
, ou seja, a Hessiana dessa função. A gente precisa calcular isso passo a passo.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. Sabemos que:
Aqui,
é o vetor unitário na direção de
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, precisamos derivar novamente essa expressão para obter a segunda derivada. Aplicando o operador nabla novamente:
Passo 5
Vamos derivar cada componente. Utilizando a regra do produto e sabendo que a derivada de
em relação a
envolve termos que dependem de
, obtemos:
Aqui,
representa o produto tensorial e
é a matriz identidade.
Passo 6
Mas atenção, essa expressão é válida para
. Quando
, precisamos levar em conta a singularidade da função
. Isso é onde entra o delta de Dirac
, que representa uma “função” que é zero em todo lugar, menos no ponto
, onde é infinita de forma que sua integral é 1.
Passo 7
Considerando essa singularidade, a expressão completa para a segunda derivada de
inclui um termo envolvendo o delta de Dirac:
Isso garante que a equação seja válida em todo o espaço, inclusive no ponto
.
Resposta
Então, demonstramos que: