Demonstre que:
h) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão envolvendo derivadas de uma função que depende de , onde é a distância no espaço tridimensional. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo vetorial, mais especificamente derivadas de funções vetoriais e distribuições (por causa do delta de Dirac). Vamos precisar entender como calcular derivadas de vetores e como a função se comporta quando derivada duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o operador nabla, que usamos para derivar funções vetoriais. Quando a gente escreve , estamos falando da derivada segunda de , ou seja, a Hessiana dessa função. A gente precisa calcular isso passo a passo.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de . Sabemos que:
Aqui, é o vetor unitário na direção de , ou seja, .

Passo 4

Agora, precisamos derivar novamente essa expressão para obter a segunda derivada. Aplicando o operador nabla novamente:

Passo 5

Vamos derivar cada componente. Utilizando a regra do produto e sabendo que a derivada de em relação a envolve termos que dependem de , obtemos:
Aqui, representa o produto tensorial e é a matriz identidade.

Passo 6

Mas atenção, essa expressão é válida para . Quando , precisamos levar em conta a singularidade da função . Isso é onde entra o delta de Dirac , que representa uma “função” que é zero em todo lugar, menos no ponto , onde é infinita de forma que sua integral é 1.

Passo 7

Considerando essa singularidade, a expressão completa para a segunda derivada de inclui um termo envolvendo o delta de Dirac:
Isso garante que a equação seja válida em todo o espaço, inclusive no ponto .

Resposta

Então, demonstramos que:

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