Demonstre que:
g)

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que:
Aqui, é o operador gradiente, é o vetor unitário na direção de , é a matriz identidade, e representa o produto tensorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de um vetor e usar propriedades de vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor unitário é definido como:
Aqui, é a magnitude do vetor , que simplificamos para .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o gradiente de . O gradiente de um vetor é uma matriz cujas entradas são as derivadas parciais dos componentes do vetor em relação às coordenadas espaciais. Matemáticamente, se , então:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais. Como , podemos usar a regra do quociente para derivar cada componente:
Sabemos que , então substituímos:
Aplicando isso para as outras componentes, teremos:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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