Então, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar que:
Aqui, é o operador gradiente, é o vetor unitário na direção de , é a matriz identidade, e representa o produto tensorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de um vetor e usar propriedades de vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor unitário é definido como:
Aqui, é a magnitude do vetor , que simplificamos para .
Passo 3
Agora, precisamos calcular o gradiente de . O gradiente de um vetor é uma matriz cujas entradas são as derivadas parciais dos componentes do vetor em relação às coordenadas espaciais. Matemáticamente, se , então:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais. Como , podemos usar a regra do quociente para derivar cada componente:
Sabemos que , então substituímos:
Aplicando isso para as outras componentes, teremos:
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Física - J. M. F. Bassalo - Eletrodinâmica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 1.Problemas Propostos - Ex. P.1.5g