O teorema de Taylor afirma que, para qualquer função razoável
, o valor de
em um ponto
pode ser expresso como uma série infinita envolvendo
e suas derivadas no ponto
:
onde as plicas denotam derivadas sucessivas de
. (Dependendo da função, essa série pode convergir para qualquer incremento
ou apenas para valores de
menores que algum “raio de convergência” não nulo.) Esse teorema é extremamente útil, especialmente para valores pequenos de
, quando o primeiro ou os dois primeiros termos da série dão geralmente uma excelente aproximação.
(a) Determine a série de Taylor para
. (b) Faça o mesmo para
. © Da mesma forma, para sen
e (d) para e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos as séries de Taylor para várias funções:
,
,
e
. Taylor é uma ferramenta poderosa que nos permite aproximar funções usando polinômios, aproveitando as derivadas da função no ponto de expansão. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as derivadas das funções em questão e aplicar a fórmula do teorema de Taylor.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): determinar a série de Taylor para
. Primeiro, identificamos a função que vamos expandir:
. Queremos expandir essa função em torno de
, ou seja, encontrar a série de Taylor em torno de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
e avaliamos em
:
-
-
-
-
- E assim por diante.
Avaliando em
:
-
-
-
-
- …
Passo 4
Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores calculados:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b): determinar a série de Taylor para
. A função a ser expandida é
, também em torno de
.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
e avaliamos em
:
-
-
-
-
-
- E assim por diante.
Avaliando em
:
-
-
-
-
-
- …
Passo 7
Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 8
Passando para a parte ©: determinar a série de Taylor para
. A função a ser expandida é
, em torno de
.
Passo 9
Calculamos as derivadas de
e avaliamos em
:
-
-
-
-
-
- E assim por diante.
Avaliando em
:
-
-
-
-
-
- …
Passo 10
Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 11
Finalmente, vamos para a parte (d): determinar a série de Taylor para
. A função a ser expandida é
, em torno de
.
Passo 12
Calculamos as derivadas de
e avaliamos em
:
-
- Todas as derivadas são
Avaliando em
:
-
-
-
-
- E assim por diante.
Passo 13
Aplicamos a fórmula da série de Taylor:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
As séries de Taylor para as funções solicitadas são:
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
:
d) Para
: