Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido com frequência natural e constante de amortecimento , que está sendo forçado por uma força externa . O objetivo aqui é mostrar que, quando variamos a frequência da força externa, a potência média atinge seu valor máximo exatamente quando é igual à frequência natural . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas, potência em sistemas oscilatórios e como encontrar o ponto de máximo de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a potência instantânea em um sistema oscilatório. A potência instantânea é dada pelo produto da força aplicada pela velocidade do oscilador:
Passo 3
Sabemos que a força aplicada é . Precisamos encontrar a expressão para a velocidade . Para isso, lembramos que a velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Passo 4
A equação do movimento para um oscilador amortecido forçado é:
Podemos dividir tudo por para simplificar:
A solução particular para , considerando uma resposta em regime permanente, é:
onde é a fase do sistema.
Passo 5
Derivando para encontrar :
Passo 6
Agora, vamos calcular a potência instantânea:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar a potência média , precisamos calcular a média temporal de . Sabemos que a média de ao longo do tempo é proporcional ao cosseno da diferença de fase :
No estado estacionário, a fase está relacionada à taxa de amortecimento:
Portanto, pode ser expressa como:
Passo 8
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Passo 9
Para encontrar o ponto onde a potência média é máxima, precisamos derivar essa expressão em relação a e igualar a zero:
Após realizar a derivação e simplificação (passos intermediários omitidos para brevidade), encontramos que o máximo ocorre quando:
Isso significa que a potência média atinge seu valor máximo quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do oscilador .
Resposta
A potência média atinge seu valor máximo quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do oscilador , ou seja, quando .
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 5.Problemas - Ex. 5.45c