Considere um oscilador amortecido, com frequência natural e constante de amortecimento , ambas fixas, que é forçado por uma força . © Mostre que, à medida que varia, é máximo quando , isto é, a ressonância da potência ocorre (exatamente) quando .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido com frequência natural e constante de amortecimento , que está sendo forçado por uma força externa . O objetivo aqui é mostrar que, quando variamos a frequência da força externa, a potência média atinge seu valor máximo exatamente quando é igual à frequência natural . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de oscilações forçadas, potência em sistemas oscilatórios e como encontrar o ponto de máximo de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a potência instantânea em um sistema oscilatório. A potência instantânea é dada pelo produto da força aplicada pela velocidade do oscilador:

Passo 3

Sabemos que a força aplicada é . Precisamos encontrar a expressão para a velocidade . Para isso, lembramos que a velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:

Passo 4

A equação do movimento para um oscilador amortecido forçado é:
Podemos dividir tudo por para simplificar:
A solução particular para , considerando uma resposta em regime permanente, é:
onde é a fase do sistema.

Passo 5

Derivando para encontrar :

Passo 6

Agora, vamos calcular a potência instantânea:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar a potência média , precisamos calcular a média temporal de . Sabemos que a média de ao longo do tempo é proporcional ao cosseno da diferença de fase :
No estado estacionário, a fase está relacionada à taxa de amortecimento:
Portanto, pode ser expressa como:

Passo 8

Substituindo na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Para encontrar o ponto onde a potência média é máxima, precisamos derivar essa expressão em relação a e igualar a zero:
Após realizar a derivação e simplificação (passos intermediários omitidos para brevidade), encontramos que o máximo ocorre quando:
Isso significa que a potência média atinge seu valor máximo quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do oscilador .

Resposta

A potência média atinge seu valor máximo quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do oscilador , ou seja, quando .

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