A energia potencial de dois átomos em uma molécula pode, algumas vezes, ser aproximada pela função de Morse,
onde é a distância entre os dois átomos e e são constantes positivas, com . Esboce o gráfico dessa função para . Determine a separação de equilíbrio na qual é mínimo. Agora escreva de modo que seja o deslocamento a partir da posição de equilíbrio e mostre que, para pequenos deslocamentos, tem a forma aproximada const . Ou seja, a lei de Hooke se aplica. Qual é a constante da força?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a energia potencial de dois átomos numa molécula e como ela pode ser descrita pela função de Morse. A gente vai precisar entender essa função, desenhar seu gráfico para diferentes valores de (a distância entre os átomos), encontrar onde essa energia é mínima (isso é a separação de equilíbrio ) e mostrar que, para pequenos deslocamentos dessa posição de equilíbrio, essa energia se comporta como a lei de Hooke. No final, vamos descobrir qual é a constante nessa lei.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função de Morse:
Aqui, é a energia potencial quando os átomos estão separados por uma distância . As constantes , e são positivas, e é bem menor que . Isso já nos dá uma ideia de como a função vai se comportar quando varia.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico de para .
Quando é muito pequeno (os átomos estão bem próximos), fica grande e positivo, então é muito grande. Isso faz crescer exponencialmente.
Quando , o expoente se torna zero: . Substituindo na função:
Esta é a energia mínima, indicando a distância de equilíbrio .
Para maior que , fica negativo, então se aproxima de zero, e se aproxima de uma constante.
Então, o gráfico de tem um vale em e cresce rapidamente para ambos os lados desse ponto.

Passo 4

Agora, vamos determinar a separação de equilíbrio onde é mínimo. Para isso, precisamos derivar em relação a e igualar a zero:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Igualando a zero:
O produto é zero quando qualquer um dos fatores é zero. Como e são positivos, isso acontece quando:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, a separação de equilíbrio é .

Passo 5

Agora, vamos escrever , onde é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio. Substituindo na função de Morse:
Para pequenos deslocamentos , podemos aproximar usando a série de Taylor:
Substituindo na expressão de :
Expandindo o quadrado:
Para pequenos , os termos com e são muito pequenos e podem ser desprezados:
Então, a energia potencial fica:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que para pequenos deslocamentos, a energia potencial se comporta como a lei de Hooke, que é:
Comparando as duas expressões, temos:

Resposta

A constante da força é .

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