A energia potencial de dois átomos em uma molécula pode, algumas vezes, ser aproximada pela função de Morse,
onde
é a distância entre os dois átomos e
e
são constantes positivas, com
. Esboce o gráfico dessa função para
. Determine a separação de equilíbrio
na qual
é mínimo. Agora escreva
de modo que
seja o deslocamento a partir da posição de equilíbrio e mostre que, para pequenos deslocamentos,
tem a forma aproximada
const
. Ou seja, a lei de Hooke se aplica. Qual é a constante
da força?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a energia potencial de dois átomos numa molécula e como ela pode ser descrita pela função de Morse. A gente vai precisar entender essa função, desenhar seu gráfico para diferentes valores de
(a distância entre os átomos), encontrar onde essa energia é mínima (isso é a separação de equilíbrio
) e mostrar que, para pequenos deslocamentos dessa posição de equilíbrio, essa energia se comporta como a lei de Hooke. No final, vamos descobrir qual é a constante
nessa lei.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função de Morse:
Aqui,
é a energia potencial quando os átomos estão separados por uma distância
. As constantes
,
e
são positivas, e
é bem menor que
. Isso já nos dá uma ideia de como a função vai se comportar quando
varia.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico de
para
.
Quando
é muito pequeno (os átomos estão bem próximos),
fica grande e positivo, então
é muito grande. Isso faz
crescer exponencialmente.
Quando
, o expoente se torna zero:
. Substituindo na função:
Esta é a energia mínima, indicando a distância de equilíbrio
.
Para
maior que
,
fica negativo, então
se aproxima de zero, e
se aproxima de uma constante.
Então, o gráfico de
tem um vale em
e cresce rapidamente para ambos os lados desse ponto.
Passo 4
Agora, vamos determinar a separação de equilíbrio
onde
é mínimo. Para isso, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Igualando a zero:
O produto é zero quando qualquer um dos fatores é zero. Como
e
são positivos, isso acontece quando:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, a separação de equilíbrio é
.
Passo 5
Agora, vamos escrever
, onde
é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio. Substituindo na função de Morse:
Para pequenos deslocamentos
, podemos aproximar
usando a série de Taylor:
Substituindo na expressão de
:
Expandindo o quadrado:
Para pequenos
, os termos com
e
são muito pequenos e podem ser desprezados:
Então, a energia potencial fica:
Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que para pequenos deslocamentos, a energia potencial se comporta como a lei de Hooke, que é:
Comparando as duas expressões, temos:
Resposta
A constante
da força é
.