Verifique se o parâmetro de decaimento para um oscilador superamortecido decresce quando cresce. Esboce o gráfico do comportamento do decaimento para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para verificar se o parâmetro de decaimento para um oscilador superamortecido diminui quando aumenta. Além disso, queremos esboçar o gráfico desse comportamento para valores de entre e o infinito. Vamos usar conceitos de funções e derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos analisar. Temos a função de decaimento:
Queremos saber se, à medida que aumenta, diminui. Para isso, vamos analisar a derivada de em relação a . Se a derivada for negativa, então a função está decrescendo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de :
A derivada de em relação a é 1. Agora, vamos derivar :
Então, a derivada total fica:
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal de . Queremos ver se é negativo:
Isso significa que:
Multiplicando ambos os lados por (que é positivo porque ):
Isso é sempre verdadeiro para , pois é sempre menor que . Portanto, é sempre negativo nesse intervalo.
Passo 5
Como a derivada é negativa para , isso significa que a função está sempre decrescendo quando aumenta. Ou seja, o parâmetro de decaimento diminui à medida que cresce.
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico de para .
Quando :
Quando tende ao infinito:
Então, o gráfico começa em e decresce continuamente até se aproximar de .
Resposta
O parâmetro de decaimento diminui à medida que cresce para . O gráfico apresenta uma curva decrescente partindo de e se aproximando de zero conforme tende ao infinito.
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 5.Problemas - Ex. 5.20