Imagine que você encontrou uma solução particular
da equação inomogênea (5.48) para um oscilador amortecido forçado, de modo que
na notação com operador (5.49). Suponha também que
seja uma outra solução qualquer, de modo que
. Mostre que a diferença
deve satisfazer a equação homogênea,
0 . Essa é uma demonstração alternativa de que qualquer solução
da equação inomogênea pode ser escrita como a soma da solução particular mais a solução da homogênea, isto é,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre equações diferenciais, especificamente para um oscilador amortecido forçado. A gente tem uma equação inhomogênea que é algo do tipo
, onde
é um operador diferencial. A gente já sabe uma solução particular
que resolve essa equação, ou seja,
. Também temos outra solução qualquer
que também resolve
. O objetivo aqui é mostrar que a diferença entre essas duas soluções,
, resolve a equação homogênea
. Isso vai nos ajudar a entender que qualquer solução da equação inhomogênea pode ser escrita como a soma de uma solução particular e uma solução da homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma solução particular e uma solução da equação homogênea. Uma solução particular
resolve a equação completa
. Já uma solução da equação homogênea, que vamos chamar de
, resolve
. A ideia é mostrar que
.
Passo 3
Vamos considerar a diferença entre as duas soluções que a gente tem:
. Queremos ver o que acontece quando aplicamos o operador
nessa diferença. Ou seja, vamos calcular
.
Passo 4
Aplicando a linearidade do operador
, que basicamente diz que
, temos:
Passo 5
Sabemos que
é uma solução da equação inhomogênea, então
. Também sabemos que
é uma solução particular, então
. Substituindo esses valores na equação acima:
Passo 6
Resultado interessante:
. Isso significa que a diferença
satisfaz a equação homogênea
, onde
.
Resposta
Portanto, mostramos que
satisfaz a equação homogênea
, o que confirma que qualquer solução
da equação inhomogênea pode ser escrita como a soma da solução particular
mais uma solução da homogênea
, ou seja: