Considere um oscilador amortecido
. Há uma pequena dificuldade em definir o “período”
, uma vez que o movimento (5.38) não é periódico. No entanto, a definição que faz sentido é que
é o tempo entre máximos sucessivos de
. © Se
, por qual fator a amplitude diminui no intervalo de um período?
Passo 1
Vamos resumir o que está sendo pedido aqui. Temos um oscilador amortecido onde o coeficiente de amortecimento
é menor que a frequência natural
(
). A questão fala sobre o período
, que é o tempo entre máximos sucessivos de deslocamento
. Especificamente, queremos descobrir por qual fator a amplitude diminui em um intervalo de um período, dado que
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como o amortecimento afeta a amplitude de um oscilador e usar a fórmula que relaciona o amortecimento com a variação da amplitude ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de um oscilador amortecido:
Aqui,
é a amplitude inicial,
é o coeficiente de amortecimento, e
é a frequência angular amortecida, que é dada por:
Como
, podemos calcular
:
Passo 3
O período
é o tempo entre dois picos consecutivos de
. Para um oscilador amortecido, o tempo entre esses picos é aproximadamente o período do movimento oscilatório amortecido, que é:
Passo 4
Agora, queremos descobrir por qual fator a amplitude diminui em um intervalo de um período
. A amplitude no tempo
é dada por
. Assim, a amplitude após um período
é:
Passo 5
O fator de diminuição da amplitude é então:
Calculando esse valor numérico:
Então,
Resposta
A amplitude diminui por um fator de aproximadamente
em um intervalo de um período.