Considere um oscilador amortecido . Há uma pequena dificuldade em definir o “período” , uma vez que o movimento (5.38) não é periódico. No entanto, a definição que faz sentido é que é o tempo entre máximos sucessivos de . © Se , por qual fator a amplitude diminui no intervalo de um período?

Passo 1

Vamos resumir o que está sendo pedido aqui. Temos um oscilador amortecido onde o coeficiente de amortecimento é menor que a frequência natural ( ). A questão fala sobre o período , que é o tempo entre máximos sucessivos de deslocamento . Especificamente, queremos descobrir por qual fator a amplitude diminui em um intervalo de um período, dado que .
Para resolver isso, vamos precisar entender como o amortecimento afeta a amplitude de um oscilador e usar a fórmula que relaciona o amortecimento com a variação da amplitude ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de um oscilador amortecido:
Aqui, é a amplitude inicial, é o coeficiente de amortecimento, e é a frequência angular amortecida, que é dada por:
Como , podemos calcular :

Passo 3

O período é o tempo entre dois picos consecutivos de . Para um oscilador amortecido, o tempo entre esses picos é aproximadamente o período do movimento oscilatório amortecido, que é:

Passo 4

Agora, queremos descobrir por qual fator a amplitude diminui em um intervalo de um período . A amplitude no tempo é dada por . Assim, a amplitude após um período é:

Passo 5

O fator de diminuição da amplitude é então:
Calculando esse valor numérico:
Então,

Resposta

A amplitude diminui por um fator de aproximadamente em um intervalo de um período.

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