Escreva a expressão da energia potencial de um pêndulo simples (massa , comprimento ) em termos do ângulo entre o pêndulo e a vertical. (Escolha o zero de no ponto mais baixo.) Mostre que, para ângulos pequenos, assume a forma da lei de Hooke , em termos da coordenada . O que significa ?

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre energia potencial de um pêndulo simples. A massa é , o comprimento é , e o ângulo com a vertical é . Precisamos escrever a expressão da energia potencial em termos de , escolhendo o ponto mais baixo como zero da energia. Depois, mostrar que para ângulos pequenos, se parece com a lei de Hooke, que é . Por fim, precisamos explicar o que significa a constante .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional é dada por , onde é a altura. No caso do pêndulo, quando ele está fazendo um ângulo com a vertical, a altura que a massa sobe em relação ao ponto mais baixo é .

Passo 3

Substituindo na fórmula da energia potencial, temos:

Passo 4

Agora, queremos mostrar que para ângulos pequenos, se parece com a lei de Hooke, que é . Para isso, usamos a aproximação de que quando é pequeno, .

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão de :

Passo 6

Comparando com a lei de Hooke, , vemos que:

Resposta

A energia potencial do pêndulo é . A constante representa .

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