Escreva a expressão da energia potencial
de um pêndulo simples (massa
, comprimento
) em termos do ângulo
entre o pêndulo e a vertical. (Escolha o zero de
no ponto mais baixo.) Mostre que, para ângulos pequenos,
assume a forma da lei de Hooke
, em termos da coordenada
. O que significa
?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre energia potencial de um pêndulo simples. A massa é
, o comprimento é
, e o ângulo com a vertical é
. Precisamos escrever a expressão da energia potencial
em termos de
, escolhendo o ponto mais baixo como zero da energia. Depois, mostrar que para ângulos pequenos,
se parece com a lei de Hooke, que é
. Por fim, precisamos explicar o que significa a constante
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional é dada por
, onde
é a altura. No caso do pêndulo, quando ele está fazendo um ângulo
com a vertical, a altura
que a massa sobe em relação ao ponto mais baixo é
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula da energia potencial, temos:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que para ângulos pequenos,
se parece com a lei de Hooke, que é
. Para isso, usamos a aproximação de que quando
é pequeno,
.
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão de
:
Passo 6
Comparando com a lei de Hooke,
, vemos que:
Resposta
A energia potencial do pêndulo é
. A constante
representa
.