Considere um oscilador bidimensional isotrópico movendo-se de acordo com a Equação (5.20). Mostre que se, a fase relativa é , a partícula move-se em uma elipse com eixos maior e menor e .

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre um oscilador bidimensional isotrópico que se move de acordo com uma certa equação (a Equação 5.20, mas não precisamos nos preocupar com os detalhes dela agora). O que precisamos mostrar é que, se a fase relativa entre os movimentos nas duas direções for , a partícula vai se mover em uma elipse com eixos maiores e menores sendo e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples em duas dimensões e um pouquinho de geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como descrevemos o movimento de um oscilador harmônico em uma dimensão. A posição em função do tempo é dada por:
onde:
  • é a amplitude do movimento na direção ,
  • é a frequência angular,
  • é o tempo.
Para o movimento na direção , considerando uma fase relativa , a posição é:
onde:
  • é a amplitude na direção .

Passo 3

No problema, a fase relativa é . Substituindo isso na equação de , temos:
Sabemos que . Então:
Mas como o sinal negativo não altera a forma da trajetória, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora temos as duas equações paramétricas do movimento:
Para encontrar a relação entre e que descreve a trajetória da partícula, vamos eliminar o tempo .

Passo 5

Sabemos que:
Dividindo a equação de por e a de por , temos:
Portanto:

Resposta

A equação descreve uma elipse com eixos maior e menor e , respectivamente. Ou seja, quando a fase relativa é , a partícula se move em uma elipse com esses eixos.

Exercícios de Livros Relacionados