Considere um oscilador bidimensional isotrópico movendo-se de acordo com a Equação (5.20). Mostre que se, a fase relativa é
, a partícula move-se em uma elipse com eixos maior e menor
e
.
Passo 1
Vamos lá! O problema fala sobre um oscilador bidimensional isotrópico que se move de acordo com uma certa equação (a Equação 5.20, mas não precisamos nos preocupar com os detalhes dela agora). O que precisamos mostrar é que, se a fase relativa entre os movimentos nas duas direções for
, a partícula vai se mover em uma elipse com eixos maiores e menores sendo
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples em duas dimensões e um pouquinho de geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como descrevemos o movimento de um oscilador harmônico em uma dimensão. A posição
em função do tempo é dada por:
onde:
-
é a amplitude do movimento na direção , -
é a frequência angular, -
é o tempo.
Para o movimento na direção
, considerando uma fase relativa
, a posição
é:
onde:
-
é a amplitude na direção .
Passo 3
No problema, a fase relativa é
. Substituindo isso na equação de
, temos:
Sabemos que
. Então:
Mas como o sinal negativo não altera a forma da trajetória, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora temos as duas equações paramétricas do movimento:
Para encontrar a relação entre
e
que descreve a trajetória da partícula, vamos eliminar o tempo
.
Passo 5
Sabemos que:
Dividindo a equação de
por
e a de
por
, temos:
Portanto:
Resposta
A equação
descreve uma elipse com eixos maior e menor
e
, respectivamente. Ou seja, quando a fase relativa é
, a partícula se move em uma elipse com esses eixos.