Uma mola de massa desprezível tem um comprimento
, quando não distendida, e constante de força
. Um extremo está agora preso ao teto e uma massa
está pendurada na outra extremidade. O comprimento de equilíbrio da mola é agora
. (b) Demonstre o mesmo resultado mostrando que a energia potencial resultante (mola mais gravidade) tem a forma
const
.
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma mola com comprimento inicial
e uma constante de força
. Quando você pendura uma massa
nessa mola, ela se estende até um novo comprimento de equilíbrio
. A questão nos pede para mostrar que a energia potencial resultante, que considera tanto a mola quanto a gravidade, tem a forma
. Para resolver isso, vamos precisar entender as energias envolvidas em um sistema mola-massa e como elas se combinam.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre energia potencial na mola. Quando a mola é esticada ou comprimida, ela armazena energia na forma de energia potencial elástica. A fórmula dessa energia é
, onde
é a deformação da mola em relação ao seu comprimento natural
. Aqui,
é a constante da mola, que indica o quanto ela resiste à deformação.
Passo 3
Agora, vamos considerar a energia potencial gravitacional. Quando temos uma massa
pendurada, ela tem energia potencial devido à gravidade, dada por
, onde
é a aceleração da gravidade e
é a altura em relação a um ponto de referência. No nosso caso, vamos considerar
como a deformação
da mola, então a energia potencial gravitacional é
.
Passo 4
A energia potencial total do sistema é a soma da energia potencial da mola e da energia potencial gravitacional. Então, temos:
Esse é o potencial resultante que estamos analisando.
Passo 5
Agora, queremos reescrever essa expressão de energia potencial total de maneira que fique na forma
. Para isso, vamos completar o quadrado ou ajustar os termos de forma que a expressão fique nessa estrutura.
Vamos observar que:
Podemos completar o quadrado adicionando e subtraindo
:
Assim, a expressão fica:
Onde a constante é
.
Resposta
Portanto, demonstramos que a energia potencial resultante é dada por: