Uma mola de massa desprezível tem um comprimento , quando não distendida, e constante de força . Um extremo está agora preso ao teto e uma massa está pendurada na outra extremidade. O comprimento de equilíbrio da mola é agora . (b) Demonstre o mesmo resultado mostrando que a energia potencial resultante (mola mais gravidade) tem a forma const .

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma mola com comprimento inicial e uma constante de força . Quando você pendura uma massa nessa mola, ela se estende até um novo comprimento de equilíbrio . A questão nos pede para mostrar que a energia potencial resultante, que considera tanto a mola quanto a gravidade, tem a forma . Para resolver isso, vamos precisar entender as energias envolvidas em um sistema mola-massa e como elas se combinam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre energia potencial na mola. Quando a mola é esticada ou comprimida, ela armazena energia na forma de energia potencial elástica. A fórmula dessa energia é , onde é a deformação da mola em relação ao seu comprimento natural . Aqui, é a constante da mola, que indica o quanto ela resiste à deformação.

Passo 3

Agora, vamos considerar a energia potencial gravitacional. Quando temos uma massa pendurada, ela tem energia potencial devido à gravidade, dada por , onde é a aceleração da gravidade e é a altura em relação a um ponto de referência. No nosso caso, vamos considerar como a deformação da mola, então a energia potencial gravitacional é .

Passo 4

A energia potencial total do sistema é a soma da energia potencial da mola e da energia potencial gravitacional. Então, temos:
Esse é o potencial resultante que estamos analisando.

Passo 5

Agora, queremos reescrever essa expressão de energia potencial total de maneira que fique na forma . Para isso, vamos completar o quadrado ou ajustar os termos de forma que a expressão fique nessa estrutura.
Vamos observar que:
Podemos completar o quadrado adicionando e subtraindo :
Assim, a expressão fica:
Onde a constante é .

Resposta

Portanto, demonstramos que a energia potencial resultante é dada por:

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