Sabemos que, se variarmos frequência motriz , a resposta máxima para um oscilador amortecido forçado ocorre quando (se a frequência natural for e a constante de amortecimento for ). Mostre que é igual à metade do seu valor quando , de modo que a largura completa na metade do máximo é justamente . [Sugestão: seja cuidadoso com as aproximações. Por exemplo, é correto dizer que , mas você certamente não pode dizer que .]
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um oscilador forçado que sofre amortecimento, e sabemos que a resposta máxima ocorre quando a frequência motriz está próxima da frequência natural , assumindo que a constante de amortecimento é bem menor que (). O exercício quer que mostremos que é igual à metade do seu valor máximo quando está aproximadamente , e, assim, a largura completa na metade do máximo (ou seja, a largura na metade da altura máxima) é exatamente . Para resolver isso, vamos precisar entender como a amplitude depende da frequência e aplicar um pouco de matemática para encontrar esses pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a expressão para a amplitude de um oscilador amortecido forçado. A amplitude pode ser dada por:
Onde:
é a amplitude da força externa,
é a massa do oscilador,
é a frequência natural,
é a frequência da força externa,
é a constante de amortecimento.
Para facilitar, vamos trabalhar com :
Passo 3
Sabemos que a resposta máxima ocorre quando . Vamos considerar esse ponto como . Então, substituindo na expressão de :
Simplificando:
Passo 4
Agora, queremos encontrar as frequências onde é metade do valor máximo, ou seja:
Vamos igualar isso à expressão geral de :
Podemos cancelar dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por denominadores para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos resolver para . Primeiro, expandimos os termos:
Simplificando:
Agora, vamos aproximar considerando que . Isso nos permite supor que as variações de em relação a são pequenas. Vamos escrever , onde é pequeno em relação a .
Passo 6
Substituindo na expressão:
Calculando :
Pois é muito pequeno e pode ser desprezado.
Então:
E:
Substituindo de volta na equação:
Passo 7
Agora, vamos resolver para :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Então, mostramos que quando , a amplitude ao quadrado é metade do valor máximo . Portanto, a largura completa na metade do máximo é .
Física - John R. Taylor. - Mecânica Clássica - 1ª Edição - Capítulo 5.Problemas - Ex. 5.41