Outra interpretação de em uma ressonância vem do seguinte: considere o movimento de um oscilador amortecido forçado depois de alguns transientes terem desaparecido e suponha que ele esteja sendo forçado próximo do valor de ressonância, assim você pode considerar . (a) Mostre que a energia total do oscilador (cinética mais potencial) é .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido que está sendo forçado perto da frequência de ressonância, ou seja, . Queremos mostrar que a energia total desse oscilador, que é a soma da energia cinética com a potencial, é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física de osciladores harmônicos, como energia cinética, energia potencial e a relação entre elas numa condição de ressonância.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a energia total de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética ( ) e da energia potencial ( ). Ou seja:

Passo 3

A energia cinética de um oscilador harmônico é dada por:
onde é a massa do oscilador e é a velocidade.

Passo 4

A energia potencial armazenada na mola (ou no sistema oscilatório) é:
onde é a constante elástica do sistema e é o deslocamento da posição de equilíbrio.

Passo 5

Na condição de ressonância, a frequência angular é igual à frequência natural , onde:
Assim, podemos reescrever em termos de :

Passo 6

Sabendo que em movimento harmônico simples, o deslocamento pode ser expresso como:
onde é a amplitude.

Passo 7

A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
O quadrado da velocidade é:

Passo 8

Substituindo na expressão da energia cinética:

Passo 9

Substituindo na expressão da energia potencial:

Passo 10

Agora, somamos e para obter a energia total:

Passo 11

Fatorando e usando a identidade trigonométrica :

Resposta

A energia total do oscilador é .

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