Outra interpretação de
em uma ressonância vem do seguinte: considere o movimento de um oscilador amortecido forçado depois de alguns transientes terem desaparecido e suponha que ele esteja sendo forçado próximo do valor de ressonância, assim você pode considerar
. (a) Mostre que a energia total do oscilador (cinética mais potencial) é
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um oscilador amortecido que está sendo forçado perto da frequência de ressonância, ou seja,
. Queremos mostrar que a energia total desse oscilador, que é a soma da energia cinética com a potencial, é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de física de osciladores harmônicos, como energia cinética, energia potencial e a relação entre elas numa condição de ressonância.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a energia total de um oscilador harmônico é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
). Ou seja:
Passo 3
A energia cinética de um oscilador harmônico é dada por:
onde
é a massa do oscilador e
é a velocidade.
Passo 4
A energia potencial armazenada na mola (ou no sistema oscilatório) é:
onde
é a constante elástica do sistema e
é o deslocamento da posição de equilíbrio.
Passo 5
Na condição de ressonância, a frequência angular
é igual à frequência natural
, onde:
Assim, podemos reescrever
em termos de
:
Passo 6
Sabendo que em movimento harmônico simples, o deslocamento pode ser expresso como:
onde
é a amplitude.
Passo 7
A velocidade é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
O quadrado da velocidade é:
Passo 8
Substituindo
na expressão da energia cinética:
Passo 9
Substituindo
na expressão da energia potencial:
Passo 10
Agora, somamos
e
para obter a energia total:
Passo 11
Fatorando
e usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
A energia total do oscilador é
.