Este problema é para reativar na sua memória algumas propriedades dos números complexos apresentados ao longo do capítulo, mas especialmente na dedução da fórmula da ressonância (5.64). (d) Mostre que e que .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos que mostrar duas propriedades dos números complexos relacionadas ao conjugado:
Para resolver isso, vamos lembrar do que é o conjugado de um número complexo e como ele se comporta nas operações de multiplicação e divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjugado de um número complexo. Se temos um número complexo , onde e são números reais e é a unidade imaginária, então o conjugado de é dado por:
O conjugado basicamente inverte o sinal da parte imaginária do número complexo.

Passo 3

Agora, vamos provar que .
Seja e . Então:
Tirando o conjugado de :
Por outro lado, calculando :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos provar que .
Tomando o conjugado de :
Aqui, usamos a propriedade de que o conjugado de uma fração é a fração dos conjugados.

Resposta

Concluímos que:

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