Este problema é para reativar na sua memória algumas propriedades dos números complexos apresentados ao longo do capítulo, mas especialmente na dedução da fórmula da ressonância (5.64). (d) Mostre que
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos que mostrar duas propriedades dos números complexos relacionadas ao conjugado:
Para resolver isso, vamos lembrar do que é o conjugado de um número complexo e como ele se comporta nas operações de multiplicação e divisão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o conjugado de um número complexo. Se temos um número complexo
, onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária, então o conjugado de
é dado por:
O conjugado basicamente inverte o sinal da parte imaginária do número complexo.
Passo 3
Agora, vamos provar que
.
Seja
e
. Então:
Tirando o conjugado de
:
Por outro lado, calculando
:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos provar que
.
Tomando o conjugado de
:
Aqui, usamos a propriedade de que o conjugado de uma fração é a fração dos conjugados.
Resposta
Concluímos que: