Prove o teorema do virial tridimensional:
(para estados estacionários). Dica: consulte o Problema 3.31 .

Passo 1

Então, a gente precisa provar o Teorema do Virial Tridimensional, que diz que para estados estacionários:
Esse teorema está na área de mecânica quântica, especificamente relacionado à energia cinética e ao potencial . Vamos precisar usar operadores de métrica, estados estacionários e propriedades dos operadores na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os estados estacionários. Eles são estados com energia bem definida, ou seja, soluções da equação de Schrödinger independente do tempo:
onde é o operador Hamiltoniano, a função de onda e a energia.

Passo 3

O Hamiltoniano é dado pela soma da energia cinética e do potencial :
Na dimensão tridimensional, a energia cinética é:

Passo 4

Vamos calcular a esperança de no estado estacionário. A esperança de um operador é:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos usar a equação de Schrödinger para manipular os termos. Multiplicando ambos os lados da equação por e integrando, podemos relacionar a energia cinética e o potencial.

Passo 6

Ao realizar as integrações e simplificações, observamos que a parte cinética aparece multiplicada por 2, enquanto a parte do potencial fica como está. Isso resulta na equação do Teorema do Virial.

Resposta

Portanto, provamos que em estados estacionários o Teorema do Virial Tridimensional é válido:

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