Prove o teorema do virial tridimensional:
(para estados estacionários). Dica: consulte o Problema 3.31 .
Passo 1
Então, a gente precisa provar o Teorema do Virial Tridimensional, que diz que para estados estacionários:
Esse teorema está na área de mecânica quântica, especificamente relacionado à energia cinética
e ao potencial
. Vamos precisar usar operadores de métrica, estados estacionários e propriedades dos operadores na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os estados estacionários. Eles são estados com energia bem definida, ou seja, soluções da equação de Schrödinger independente do tempo:
onde
é o operador Hamiltoniano,
a função de onda e
a energia.
Passo 3
O Hamiltoniano
é dado pela soma da energia cinética
e do potencial
:
Na dimensão tridimensional, a energia cinética é:
Passo 4
Vamos calcular a esperança de
no estado estacionário. A esperança de um operador
é:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos usar a equação de Schrödinger para manipular os termos. Multiplicando ambos os lados da equação
por
e integrando, podemos relacionar a energia cinética e o potencial.
Passo 6
Ao realizar as integrações e simplificações, observamos que a parte cinética
aparece multiplicada por 2, enquanto a parte do potencial fica como está. Isso resulta na equação do Teorema do Virial.
Resposta
Portanto, provamos que em estados estacionários o Teorema do Virial Tridimensional é válido: