Considere um oscilador não amortecido (tal como uma massa presa a uma das extremidades de uma mola) que é largado a partir do repouso em no instante .
(a) Determine a posição na forma
Ou seja, determine e em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a posição de um oscilador não amortecido, que é basicamente uma massa presa a uma mola, quando ele é largado do repouso na posição inicial no instante . O conteúdo principal aqui é mecânica vibracional, mais especificamente o estudo de osciladores harmônicos. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações diferenciais que descrevem o movimento harmônico simples e aplicar as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Essa equação descreve a posição em função do tempo , onde é o coeficiente de amortecimento, é a frequência angular, e e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Como o oscilador é não amortecido, isso significa que não há perda de energia no sistema, ou seja, . Substituindo na equação:
Então, a equação simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . As condições são:
  1. No instante , a posição .
  2. A velocidade inicial é zero, ou seja, .
Primeiro, usando na equação de :
Então,

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Primeiro, precisamos calcular a velocidade , que é a derivada de em relação ao tempo:
Aplicando a condição inicial :
Então,

Resposta

Portanto, as constantes são:

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