Considere um oscilador não amortecido (tal como uma massa presa a uma das extremidades de uma mola) que é largado a partir do repouso em
no instante
.
(a) Determine a posição
na forma
Ou seja, determine
e
em termos de
.
(a) Determine a posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar a posição
de um oscilador não amortecido, que é basicamente uma massa presa a uma mola, quando ele é largado do repouso na posição inicial
no instante
. O conteúdo principal aqui é mecânica vibracional, mais especificamente o estudo de osciladores harmônicos. Para resolver isso, vamos precisar usar as equações diferenciais que descrevem o movimento harmônico simples e aplicar as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Essa equação descreve a posição
em função do tempo
, onde
é o coeficiente de amortecimento,
é a frequência angular, e
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Como o oscilador é não amortecido, isso significa que não há perda de energia no sistema, ou seja,
. Substituindo
na equação:
Então, a equação simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. As condições são:
- No instante
, a posição . - A velocidade inicial é zero, ou seja,
.
Primeiro, usando
na equação de
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Primeiro, precisamos calcular a velocidade
, que é a derivada de
em relação ao tempo:
Aplicando a condição inicial
:
Então,
Resposta
Portanto, as constantes são: