O termo constante em uma série de Fourier é um pouco incômodo, sempre requerendo um tratamento especial. Pelo menos ele tem uma interpretação bastante simples: mostre que, se tem uma série de Fourier padrão como (5.82), então é igual à média de tomada sobre um ciclo completo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre a série de Fourier, especificamente sobre o termo constante . A matéria que estamos lidando aqui é a análise de séries de Fourier, que é usada para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, precisamos entender o que é o termo na série de Fourier e como calcular a média de uma função sobre um ciclo completo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Fourier padrão. Uma série de Fourier para uma função periódica de período é dada por:
Aqui, é o termo constante, e os e são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.

Passo 3

O termo é especial porque representa a componente DC (corrente contínua) da função, ou seja, a média da função ao longo de um ciclo completo. Para encontrar , precisamos calcular a média de sobre um período .

Passo 4

A média de uma função em um período é dada por:
Essa integral calcula a área sob a curva de durante um ciclo e divide pelo período para obter a média.

Passo 5

Agora, vamos comparar isso com o termo na série de Fourier. O coeficiente é definido por:
Perceba que essa expressão é exatamente a definição da média .

Resposta

Portanto, mostramos que é igual à média de tomada sobre um ciclo completo.

Exercícios de Livros Relacionados