O termo constante
em uma série de Fourier é um pouco incômodo, sempre requerendo um tratamento especial. Pelo menos ele tem uma interpretação bastante simples: mostre que, se
tem uma série de Fourier padrão como (5.82), então
é igual à média
de
tomada sobre um ciclo completo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre a série de Fourier, especificamente sobre o termo constante
. A matéria que estamos lidando aqui é a análise de séries de Fourier, que é usada para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, precisamos entender o que é o termo
na série de Fourier e como calcular a média de uma função sobre um ciclo completo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Fourier padrão. Uma série de Fourier para uma função
periódica de período
é dada por:
Aqui,
é o termo constante, e os
e
são os coeficientes das funções cosseno e seno, respectivamente.
Passo 3
O termo
é especial porque representa a componente DC (corrente contínua) da função, ou seja, a média da função ao longo de um ciclo completo. Para encontrar
, precisamos calcular a média de
sobre um período
.
Passo 4
A média
de uma função
em um período
é dada por:
Essa integral calcula a área sob a curva de
durante um ciclo e divide pelo período para obter a média.
Passo 5
Agora, vamos comparar isso com o termo
na série de Fourier. O coeficiente
é definido por:
Perceba que essa expressão é exatamente a definição da média
.
Resposta
Portanto, mostramos que
é igual à média
de
tomada sobre um ciclo completo.